门| GATE-CS-2006 |问题28

这道题目是一道典型的图论问题，需要对图进行建模，并运用相关算法进行求解。以下给出详细的介绍。

题目描述

给定一个带权无向连通图，其中权值表示两个节点之间的距离。现在需要切断该图中的一些边，使得图中任意两个节点之间的距离都大于给定的值。请问，至少需要切断多少边？

思路

首先我们需要根据题目中给出的带权无向连通图建立相应的数据结构，常用的有邻接表和邻接矩阵。在此我们选择邻接表作为数据结构。

之后我们需要利用一个算法来切断图中的边，使得任意两个节点之间的距离都大于给定的值。常用的算法是最小生成树算法，其思想是从图中选出一些边，使得这些边连接了整个图，且边的权值之和最小。最小生成树算法常用的有Prim算法和Kruskal算法。

接下来我们需要对题目中给出的距离值进行求解。根据前面所述的最小生成树算法，我们可以找到一些边，使得这些边连接了整个图，且边的权值之和最小。假设此时的权值为x，则我们可以将题目中给出的距离值减去x，得到最终需要切断的最小边数。

代码实现

以下是根据上述思路实现的代码片段，供参考：

class Graph:

    def __init__(self, vertices):
        self.V = vertices
        self.graph = defaultdict(list)

    def add_edge(self, u, v, w):
        self.graph[u].append((v, w))
        self.graph[v].append((u, w))

    def prim_mst(self):
        key = [float("inf")] * self.V
        mst_set = [False] * self.V
        parent = [None] * self.V
        key[0] = 0
        parent[0] = -1
        for i in range(self.V):
            u = self.min_key(key, mst_set)
            mst_set[u] = True
            for v, w in self.graph[u]:
                if mst_set[v] == False and w < key[v]:
                    key[v] = w
                    parent[v] = u
        return parent, key

    def min_key(self, key, mst_set):
        min_value = float("inf")
        for i in range(self.V):
            if mst_set[i] == False and key[i] < min_value:
                min_value = key[i]
                min_index = i
        return min_index

    def count_edges_to_remove(self, dist):
        parent, key = self.prim_mst()
        total_sum = sum(key)
        return sum([1 for i in key if i > dist]) - 1

以上代码片段是使用Python语言实现，其中用到了Prim算法求解最小生成树，并通过统计最小生成树中权值大于给定距离的边数来求解需要切断的最小边数。