长度为N的数字A和B，且数字的总和仅包含数字A和B

这个题目可以理解为：给定两个数字 A 和 B 和一个长度为 N 的数字串，每个数字只能是 A 或 B，求满足和为给定数字串的所有情况。

思路

我们可以枚举 A 和 B 的取值，然后对于每种取值，检查数字串是否可以由 A 和 B 的组合得到。具体来说，我们可以从左到右逐位计算，用两个变量记录当前的总和和进位，然后分别以 A 和 B 代替数字串中的当前位置，递归计算余下部分是否可行。

代码如下：

def valid(A, B, digits, i, carry, total):
    if i == len(digits):
        return carry == 0 and total == 0
    if digits[i] == A:
        if valid(A, B, digits, i + 1, 0, total + A + carry * (10**(len(digits)-i-1))):
            return True
    elif digits[i] == B:
        if valid(A, B, digits, i + 1, 0, total + B + carry * (10**(len(digits)-i-1))):
            return True
    if valid(A, B, digits, i + 1, (carry + 1) // 10, total):
        return True
    return False

def sum_of_digits(A, B, N):
    for a in range(10):
        for b in range(a, 10):
            digits = [a] * N
            if valid(a, b, digits, 0, 0, 0):
                return (a, b)
    return None

复杂度

上述算法的时间复杂度为 $O(2^{N} N)$。我们枚举了每对 A 和 B 的取值，每次计算的时间复杂度为 $O(N)$。

思考题

1. 如何使用二分查找优化枚举 A 和 B 的过程？
2. 如果题目不限制 A 和 B 必须是不同的数字，该如何求解？