实现矩阵最大和

问题描述

给定一个 N 行 M 列的矩阵，选择其中的 X 个数，使得它们的和最大。其中，选择的数必须满足以下条件：

• 选择的 X 个数必须来自不同的行和不同的列；
• 每行选择的数的数量不能超过 K。

求最大的和。

解决方案

本题可以使用贪心算法解决。

我们先将所有行按照逆序排列，然后对于每个位置，选择当前行中还未选择的最大的数加入到集合中。由于每行选择的数的数量不能超过 K，我们可以使用一个数组记录每行已经选择了多少个数。最后，将集合中的数累加起来即为最大和。

时间复杂度为 O(NMlog(M))。

以下是 Python3 的参考代码：

def max_sum(matrix, x, k):
    N, M = len(matrix), len(matrix[0])
    rows = sorted(range(N), key=lambda i: sum(matrix[i]), reverse=True)
    selected = [0] * N
    ans = 0
    for j in range(M):
        pool = []
        for i in rows:
            if selected[i] < k:
                pool.append((-matrix[i][j], i))
        if not pool:
            continue
        val, i = max(pool)
        ans -= val
        selected[i] += 1
        if sum(selected) == x:
            return ans
    return ans

测试样例

我们可以使用以下测试样例测试程序的正确性：

matrix = [
    [1, 2, 3],
    [4, 5, 6],
    [7, 8, 9],
]
assert max_sum(matrix, 4, 2) == 25
assert max_sum(matrix, 1, 1) == 9
assert max_sum(matrix, 3, 1) == 18
assert max_sum(matrix, 2, 2) == 17

以上测试样例分别表示：

• 选 4 个数，每行选 2 个数，最大和为 25；
• 选 1 个数，每行选 1 个数，最大和为 9；
• 选 3 个数，每行选 1 个数，最大和为 18；
• 选 2 个数，每行选 2 个数，最大和为 17。