QA – 安置测验|管道和蓄水池 |问题 7

这是一个关于安置测验中的管道和蓄水池问题的第七个问题。

问题描述

假设我们有两个相邻的蓄水池，它们之间有一个长度为 $L$ 的直管道连接。第一个蓄水池的水位为 $h_1$，第二个蓄水池的水位为 $h_2$，管道内的水位为 $h_p$。那么这个管道最大能承受多少压力？

提示：压力和管道内的水的高度成正比，和管道内的水的密度和重力加速度成正比，和管道的截面积成反比。

解题思路

题目要求我们求解管道最大能承受多少压力，也就是说要求解管道内的水压，可以根据公式 $P=\rho g h$ 计算，其中 $P$ 表示压力，$\rho$ 表示水的密度，$g$ 表示重力加速度，$h$ 表示管道内的水高。

对于这个问题，我们需要先计算出管道内的水高 $h$，然后根据上述公式求解得出管道内的水压。计算管道内的水高的方法如下：

1. 计算出第一个蓄水池与第二个蓄水池水位的差值 $h_d = h_2-h_1$
2. 判断管道是否被完全充满了，如果是，则管道内的水位为 $h_p = h_1+h_d/2$，否则管道内的水位为 $h_p = h_1+h$

根据垂直平衡原理，对于管道内的水柱，上下两端受到的压力应该相等，其中上端受到的压力就是我们要求解的水压，下端受到的压力则是管道底部受到的大气压力。

因此，我们还需要计算出管道底部受到的大气压力，然后将其与上端受到的水压相加即可得到管道最大能承受的压力。计算管道底部受到的大气压力可以根据公式 $P_0 = \rho g h_0$ 计算，其中 $P_0$ 表示大气压力，$h_0$ 表示管道底部到水面的垂直距离。

代码实现

def calculate_pressure(h1: float, h2: float, L: float) -> float:
    """
    计算管道最大能承受的压力
    :param h1: 第一个蓄水池水位
    :param h2: 第二个蓄水池水位
    :param L: 管道长度
    :return: 管道最大能承受的压力
    """
    g = 9.81  # 重力加速度
    rho = 1000  # 水的密度
    Pb = rho * g * h1  # 管道底部的大气压力
    hd = h2 - h1  # 水位差
    if hd >= L:  # 管道被完全充满了
        hp = h1 + hd / 2  # 管道内的水位
    else:
        hp = h1 + (L ** 2 - hd ** 2) ** 0.5  # 管道内的水位
    P = rho * g * hp  # 管道内的水压
    return Pb + P  # 最大能承受的压力

上面给出的是 Python 语言的实现代码。这里我们用 calculate_pressure 函数来计算管道最大能承受的压力，该函数的输入参数包括第一个蓄水池水位、第二个蓄水池水位以及管道长度，其返回值为最大能承受的压力。在函数内部，我们按照上述思路计算了管道内的水位、管道底部的大气压力以及管道内的水压，最终将其相加得到了最大能承受的压力。