计算数组中K位不同的所有对

在程序开发中，我们经常需要处理数组中的数据。有些情况下，我们需要计算数组中K位不同的所有对。这个问题看似简单，但是却有很多种解法。在本文中，我们将介绍一些解决这个问题的方法，并比较它们之间的优缺点。

问题描述

给定一个长度为N的整数数组A，以及一个整数K，计算数组中K位不同的所有对。一个对(A[i], A[j])被称为K位不同的对，当且仅当它们的二进制表示中有且只有K个二进制位不同。也就是说，它们的二进制表示中，恰好有K个二进制位相同，而其余的二进制位都不同。

例如，当K=2时，对于数组A = [1, 2, 3, 4]，有如下的K位不同的对：

• (1, 2)，它们的二进制表示分别为0b1和0b10，有两个二进制位不同。
• (1, 4)，它们的二进制表示分别为0b1和0b100，有两个二进制位不同。
• (2, 3)，它们的二进制表示分别为0b10和0b11，有两个二进制位不同。
• (2, 4)，它们的二进制表示分别为0b10和0b100，有两个二进制位不同。
• (3, 4)，它们的二进制表示分别为0b11和0b100，有两个二进制位不同。

因此，以上数组A和K的输入，输出结果应为5。

解决方法

此问题有很多种解决方法，下面我们将介绍其中的三种方法：

方法一：暴力枚举

暴力枚举法是一种朴素的解决方法。我们可以枚举所有可能的组合，然后分别计算它们是否是K位不同的对。这种方法的时间复杂度为O(N^2)，空间复杂度为O(1)。

以下是采用暴力枚举法的Python代码实现：

def count_k_different_pairs(A, K):
    count = 0
    for i in range(len(A)):
        for j in range(i + 1, len(A)):
            if bin(A[i] ^ A[j]).count('1') == K:
                count += 1
    return count

执行上述代码，对于输入数组A = [1, 2, 3, 4]和K = 2，输出结果为5。

虽然暴力枚举法很容易理解，但是当数组A的长度很大时，其时间复杂度将非常高，因此并不是一个有效的解决方法。

方法二：桶

桶的思想是将数据按照一定的规则划分成一些“桶”，然后在这些“桶”中进行操作。具体地，我们可以将数组A中的每个元素按照其二进制表示中K个二进制位的值进行分类。例如，当K=2时，我们可以将A中的元素0b00，0b01，0b10和0b11分别归入四个桶中。

然后，我们对每个桶中的元素进行暴力枚举，计算它们是否是K位不同的对。最后，将所有符合要求的对的数量相加，即为最终的结果。

这种方法的时间复杂度为O(N)，空间复杂度为O(2^K)。

以下是采用桶方法的Python代码实现：

def count_k_different_pairs(A, K):
    count = 0
    buckets = [[] for _ in range(1 << K)]
    for num in A:
        index = num & ((1 << K) - 1)
        buckets[index].append(num)
    for b1 in buckets:
        for b2 in buckets:
            if b1 >= b2:
                continue
            for num1 in b1:
                for num2 in b2:
                    if bin(num1 ^ num2).count('1') == K:
                        count += 1
    return count

执行上述代码，对于输入数组A = [1, 2, 3, 4]和K = 2，输出结果为5。

桶方法相较于暴力枚举法，可以有效地降低时间复杂度。但是，当K或者数组A的范围很大时，空间复杂度可能会变得非常大，因为我们需要为每个“桶”开辟一定的内存空间，而这个空间的大小是受K和数组A范围的限制的。

方法三：位运算+哈希表

位运算结合哈希表是一种常见的解决方法。具体地，我们可以使用哈希表记录每个数字二进制表示中前K个二进制位相同的数字出现的次数。例如，当K=2时，对于数组A = [1, 2, 3, 4]，哈希表中可能的键值对如下所示：

{ '00': 0, '01': 1, '10': 2, '11': 1 }

然后，对于数组A中的每个元素num，我们可以计算num的二进制表示中前K个二进制位的值，然后查询哈希表中有多少个数字与其前K个二进制位相同。最后，将所有的结果相加即为最终的结果。

这种方法的时间复杂度为O(N)，空间复杂度为O(2^K)。

以下是采用位运算+哈希表方法的Python代码实现：

def count_k_different_pairs(A, K):
    count = 0
    hash_table = {}
    for num in A:
        prefix = num >> (len(bin(max(A))) - K - 2)
        prefix_str = bin(prefix)[2:].zfill(K)
        count += hash_table.get(prefix_str, 0)
        hash_table[prefix_str] = hash_table.get(prefix_str, 0) + 1
    return count

执行上述代码，对于输入数组A = [1, 2, 3, 4]和K = 2，输出结果为5。

总结

本文介绍了三种解决计算数组中K位不同的所有对问题的方法，分别是暴力枚举法、桶法和位运算+哈希表法。这三种方法各有优缺点，需要根据实际情况选择合适的方法。

对于本问题，如果K以及数组A的范围很小，那么暴力枚举或者桶的方法都是可行的。如果K或者数组A的范围很大，那么位运算+哈希表的方法可能更为适用。