介绍：检查给定的排列是否是图的有效 DFS

在图论中，DFS（深度优先搜索）是一种常见的遍历算法。给定一个图，从某个节点开始，DFS会将其所有邻居节点都遍历一遍，然后再遍历邻居节点的邻居节点，以此类推。因此，DFS遍历的顺序是深度优先的，先访问某个节点及其邻居节点的所有子节点，然后再回溯到父节点，继续遍历其它邻居节点。

在实际应用中，我们通常使用一个整数数组来表示DFS遍历的顺序，比如，如果有一个长度为$n$的数组$dfs$，其中$dfs[i]$表示第$i$个遍历到的节点的编号，那么$dfs$应该满足以下条件：

1. $dfs[0]$为DFS的起点；
2. 对于任意的$i\in[0,n-1]$，节点$dfs[i]$必须是节点$dfs[i-1]$的邻居节点或其祖先节点；
3. 对于任意的$i\in[0,n-1]$，节点$dfs[i]$不能是节点$dfs[i+1]$的祖先节点。

我们要完成的任务是检查给定的排列是否是图的有效DFS序列。

思路

首先，我们需要将给定的排列还原为对应的图。对于一个长度为$n$的排列$dfs$，可以构造一条链$1\rightarrow2\rightarrow3\rightarrow\cdots\rightarrow n$，然后根据$dfs$的顺序依次为链中的每个节点定位其父节点。具体地，在末尾添加$n+1$个空节点$e_1,\ e_2,\ \cdots,\ e_{n+1}$，然后从$dfs[n-1]$开始向前扫描，记录每个节点的父节点直到整条链被还原。如果还原成功，整张图应该是一棵树，即它没有环，所有节点都是相互可达的。

还原完图后，我们可以通过比较给定的DFS序列与还原得到的DFS序列是否相同来检查给定的排列是否是图的有效DFS序列。具体地，我们比较每个对应位置上的节点是否相同，如果有不同的节点，或者有节点在给定的排列中出现的位置与在还原得到的DFS序列中出现的位置不同，则排列不合法。

代码

下面是Python 3的参考实现，其中$adj$数组表示还原得到的图的邻接表，$idx$数组表示每个节点在$dfs$中出现的位置，$dfs$数组表示给定的DFS序列。

from collections import defaultdict

def is_valid_dfs(adj, dfs):
    n = len(adj)
    idx = [-1] * (n + 1)
    for i, node in enumerate(dfs):
        idx[node] = i
    root = dfs[0]
    stack = [root]
    visited = [False] * (n + 1)
    visited[root] = True
    dfs2 = []
    while stack:
        node = stack.pop()
        dfs2.append(node)
        for v in adj[node]:
            if not visited[v]:
                stack.append(v)
                visited[v] = True
    for i in range(n):
        if dfs[i] != dfs2[i] or idx[dfs[i]] != i:
            return False
    return True

示例

考虑如下图：

1 → 2 → 5 → 8
|   | ↙ ↓   ↘
v   v     6 → 9
3   4     | ↘
        v  7
        e_1→e_2→...→e_10

对应的DFS序列是$[1, 2, 5, 8, 6, 9, 7, 4, 3, 10]$。我们可以使用上面的实现来检查其是否是图的有效DFS序列：

adj = defaultdict(list)
adj[1].extend([2, 3])
adj[2].extend([4, 5])
adj[5].append(8)
adj[6].extend([8, 9])
adj[9].append(7)
for i in range(1, 11):
    if i not in adj:
        adj[i] = []
dfs = [1, 2, 5, 8, 6, 9, 7, 4, 3, 10]
print(is_valid_dfs(adj, dfs))  # True