题目介绍：门|门 CS 1996 |第 64 题

这是一道经典的编程题目，题目描述如下：

有 n 个门，每个门上都有一个锁。第 i 个门的锁可以用三个数字 ai、bi、ci 来表示，这个锁将被打开当且仅当钥匙上的三个数 x、y、z 满足以下条件：

1. x % ai = y % bi

2. y % bi = z % ci

3. z % ci = x % ai

其中 % 为取余操作。

现在给定每个门的锁的三个数字以及钥匙上的 x、y、z 三个数字，请问钥匙是否能够打开所有的 n 个门。

解题思路：

这是一道比较典型的判定问题，我们可以通过求解任意两个门之间的关系，来判断是否存在一组满足条件的 x、y、z。

具体方法是，对于任意两个门 i 和 j，若它们的锁能够被打开，那么有以下三种情况：

1. ai = aj 且 bi = bj 且 ci = cj，此时只需满足 x = y = z 即可。

2. ai = aj 且 bi = bj 且 ci != cj，此时需要满足 z-x = (n*ai-y) % ci。

3. 其他情况，此时需要满足所有的 ai、bi、ci 都是 x-y-z 的公因数，并且满足 z-x = (n1bi-y) % ai，y-x = (n2ci-z) % bj，z-y = (n3*ai-x) % cj（其中 n1、n2、n3 是任意整数）。

接下来我们可以采用 DFS、BFS 或者并查集等经典算法来解决这个问题。

代码实现：

以下是一个基于暴力枚举的解法，时间复杂度为 O(n^2)：

def dfs(x, y, z, locks):
    if len(locks) == 0:
        return True
    for i in range(len(locks)):
        ai, bi, ci = locks[i]
        if x % ai == y % bi and y % bi == z % ci and z % ci == x % ai:
            if dfs(x, y, z, locks[:i]+locks[i+1:]):
                return True
        elif ai == aj and bi == bj and ci != cj:
            for n in range(ci):
                if z-x == (n*ai-y) % ci:
                    if dfs(x, y, z, locks[:i]+locks[i+1:]):
                        return True
        elif math.gcd(ai, math.gcd(bi, ci)) != 1:
            for n1 in range(ai):
                for n2 in range(bi):
                    for n3 in range(ci):
                        if z-x == (n1*bi-y) % ai and y-x == (n2*ci-z) % bj and z-y == (n3*ai-x) % cj:
                            if dfs(x, y, z, locks[:i]+locks[i+1:]):
                                return True
    return False

locks = [(2,3,4), (4,5,3), (6,7,8)]
keys = (1,1,1)
print(dfs(*keys, locks))

以上代码可以输出 True，表示存在一组钥匙可以打开所有的门。