算法测验|须藤放置[1.5] |问题4

简介

这个算法问题是在游戏《阿凡达》中出现的。题目中让我们放置若干个高塔，每个塔与其它塔的距离不能小于指定的值，要求最大化每个塔的高度之和。这是一个比较典型的二分答案问题，需要了解二分思想的程序员可以尝试做一下。

思路

首先明确一点，答案具有单调性。也就是说，如果放置 n 个高塔，答案为 Ans(n)。那么，如果我们要放置 n + 1 个高塔，那么答案一定不会比 Ans(n) 小。因为如果比 Ans(n) 小，那么可以将第 n + 1 个高塔放到任意高度，使得答案不变并且不违反距离的限制。

那么我们可以考虑一个二分答案的做法。我们假设每个塔的高度都为 Ans(n)。然后我们按照以下步骤进行二分搜索：

1. 将第一个高塔放置在最左侧。
2. 找到第一个可以放置高塔的位置，比如说是右边的位置。那么我们就可以将第一个高塔放到右边的位置，使得它与最左侧的高塔的距离不小于指定的值。
3. 找到第一个可以放置两个高塔的位置，比如说是右边的位置。那么我们就可以将第二个高塔放到右边的位置，使得它与最左侧的高塔以及第一个高塔的距离都不小于指定的值。
4. 以此类推，直到放置全部高塔为止。

在找到可以放置高塔的位置的时候，可以用二分法进行搜索。具体来说，我们可以用一个数组 f 来表示每个位置是否可以放置高塔。初始状态下，f[i] 表示第 i 个位置是否可以放置高塔，初始值为 1。然后我们需要找到第一个 f[i] == 1 && f[i - d] == 0 的位置 i，其中 d 表示两个高塔之间的最小距离。这可以用二分法进行搜索。

找到可以放置高塔的位置之后，将 f 数组相应的位置设为 0，表示不能再在这个位置放置高塔。然后我们就可以将高塔放置在该位置，并按照同样的方式继续放置其它高塔。在放置所有高塔之后，如果 f 数组全都是 0，那么就说明该方案可行。如果有任何一个位置的 f 值为 1，那么该方案就不可行。

代码

def check(heights, d, mid, n):
    f = [1] * (n + 1)
    f[1] = 0
    j = 2
    for i in range(2, n + 1):
        while j <= n and heights[j] - heights[i] <= mid:
            f[j] = 0
            j += 1
        if heights[i] - heights[1] > mid:
            return False
        if f[i - 1]:
            if heights[i] - heights[i - 1] > mid:
                return False
        else:
            if heights[i] - heights[j - 1] > mid:
                return False
    return True

def solve(heights, d, n):
    left = 0
    right = heights[-1]
    while left <= right:
        mid = (left + right) // 2
        if check(heights, d, mid, n):
            ans = mid
            right = mid - 1
        else:
            left = mid + 1
    return ans

n, d = map(int, input().split())
heights = [0] + list(map(int, input().split()))
heights.sort()
print(solve(heights, d, n))

注：本题需要输入 n, d 和 heights，其中 n 表示塔的个数，d 表示两个塔之间的最小距离，heights 表示每个塔的高度。由于不一定按照位置的顺序输入，所以需要先将 heights 进行排序。其中 solve 函数用于解决这个问题，check 函数用于检查某个解是否可行。