欧拉函数和计算介绍

首先，让我们来了解一下欧拉函数（Euler's Totient Function）是什么。欧拉函数，通常用符号 φ(n) 表示，表示小于或等于 n 的正整数中与 n 互质的数的个数。换句话说，对于任意给定的正整数 n，欧拉函数 φ(n) 返回的是小于 n 且与 n 互质的数的个数。

欧拉函数的计算方法是一个相对简单的算法，可以通过对 n 的质因数进行分解来实现。下面是一个示例的 Python 代码片段，展示了如何计算给定正整数 n 的欧拉函数。

def euler_totient(n):
    result = 1

    # 对 n 进行质因数分解
    for i in range(2, int(n**0.5) + 1):
        if n % i == 0:
            # i 是 n 的一个质因数
            result *= (i - 1)
            n /= i
            
            # 继续除以相同的质因数，直到不能整除为止
            while n % i == 0:
                n /= i
            
    # 如果 n 是一个大于 1 的质数，则添加一个贡献
    if n > 1:
        result *= (n - 1)
        
    return int(result)

以上代码中，我们用到了质因数分解的思想，首先对 n 进行从 2 到 √n 的遍历，如果找到一个可以整除 n 的数 i，那么 i 就是 n 的一个质因数。对于每个质因数 i，我们将其贡献 (i-1) ，即 result *= (i-1)，然后将 n 除以 i，继续除以相同的质因数直到不能整除为止。最后，如果 n 是一个大于 1 的质数，则将其贡献 (n-1)。

现在，我们可以使用上述算法来计算给定正整数 N 的每个除数获得的欧拉总函数和。下面是相应的 Python 代码片段：

def euler_sum_of_divisors(N):
    divisors = []
    
    # 寻找 N 的除数
    for i in range(1, N+1):
        if N % i == 0:
            divisors.append(i)
    
    euler_sum = 0
    
    # 计算每个除数的欧拉函数值并求和
    for divisor in divisors:
        euler_sum += euler_totient(divisor)
    
    return euler_sum

以上代码中，我们首先遍历 1 到 N 的所有正整数，将能整除 N 的数加入到 divisors 列表中。然后，对于每个除数，我们调用之前定义的 euler_totient 函数计算其欧拉函数值，并将结果加到 euler_sum 上。最后，返回 euler_sum 即为所求的欧拉总函数和。

使用上述函数，可以方便地计算任意给定正整数 N 的每个除数获得的欧拉总函数和。如果需要其他语言的实现或更高效的算法，可以根据以上思路进行扩展或优化。

请注意，以上的代码片段仅供参考，具体的实现方式可以根据实际需求进行调整。