图论-同构

在图论中，同构是指两个图结构完全相同，只是节点或边的标签不同。在计算机科学中，判断两个图是否同构是一个经典的问题。

背景

有两个图A和B，我们想要知道它们是否同构。如果两个图结构相同，但节点或边的标签不同，那么它们就是同构的。同构问题是一个经典的计算机科学问题，可以用作许多应用程序的基础，例如化学结构、网络结构分析等。

解决方案

图同构问题是一个NP问题，即没有已知多项式时间解决方案的问题。然而，有许多有效的启发式算法可以解决大多数实际问题。

判断两个图是否同构通常涉及到用到图的一个特征向量或者特征矩阵，例如图的邻接矩阵、拉普拉斯矩阵等。在实践中，常用的算法有VF2算法、RI算法、Path-based算法等。

以下是一个简单的VF2算法实现：

def is_isomorphic(G1, G2):
    n1, n2 = len(G1), len(G2)
    if n1 != n2:
        return False

    state = State(G1, G2)

    while True:
        match = state.is_match()
        if match == State.MATCH:
            return True
        if match == State.FAILURE:
            return False
        rule1(state)

    return False

def rule1(state):
    state.current_depth += 1
    state.push_parents()
    state.add_node()
    while rule2(state):
        pass
    if rule3(state):
        rule4(state)
        if state.is_complete():
            state.set_match()

    state.revert_push()
    state.current_depth -= 1

def rule2(state):
    def compatible_nodes(a, b):
        if state.dir_graph:
            if a.in_degree() != b.in_degree() or a.out_degree() != b.out_degree():
                return False
        else:
            if a.degree() != b.degree():
                return False

        if state.node_comparator and not state.node_comparator(a, b):
            return False

        b_set = set(state.mapping.values())
        for nbr in state.G1[a]:
            if nbr not in state.mapping:
                continue
            mapped_nbr = state.mapping[nbr]
            if mapped_nbr not in state.G2[b]:
                return False
            if mapped_nbr in b_set:
                return False
        return True

    a_node = state.select_node()
    for b_node in state.iter_nodes():
        if b_node not in state.mapping.values() and compatible_nodes(a_node, b_node):
            state.add_pair(a_node, b_node)
            if state.is_pruned():
                state.revert_pair()
            else:
                return True

    return False

def rule3(state):
    def compatible_edges(a, b):
        ref_a = [state.mapping.get(nbr, None) for nbr in state.G1[a]]
        ref_b = [nbr for nbr in state.G2[b] if nbr in state.mapping]
        if ref_a != ref_b:
            return False
        if state.edge_comparator:
            for nbr, mapped_nbr in zip(state.G1[a], ref_a):
                if mapped_nbr is not None and not state.edge_comparator(a, nbr, b, mapped_nbr):
                    return False
        return True

    if not state.all_mapped():
        return False

    for a_node in state.G1:
        a_mapped_node = state.mapping[a_node]
        for nbr in state.G1[a_node]:
            if nbr in state.mapping:
                b_node = state.mapping[nbr]
                if not compatible_edges(a_mapped_node, b_node):
                    return False

    return True

def rule4(state):
    if state.current_depth == state.max_depth:
        state.set_match()
        return

    rule1(state)
    state.revert()

总结

图同构问题是一个重要的计算机科学问题，具有广泛的应用。虽然没有已知的多项式时间解决方案，但现有的算法已经可以解决大多数实际问题。我们可以选择合适的特征向量或特征矩阵，并使用启发式算法来解决这个问题。