谜题 7 | (3 个灯泡和 3 个开关)

这是一个著名的灯泡谜题，有3个开关和3个灯泡，每个开关都控制一个灯泡，开关初始状态未知，现在只能去操作开关，每次只允许操作其中一个开关，最终要达到这样的状态：任意两个灯泡都是亮的或者都是灭的，问怎样操作呢？

算法思路

我们可以利用二进制状态压缩来记录每个灯泡的状态（0表示灯泡灭，1表示灯泡亮），总共有 $2^3=8$ 种状态，即000、001、010、011、100、101、110、111。这个问题等价于找到一个解，使得二进制状态只有两种（000、111 或 001、010 或 100、011）。

操作如下：

1. 将1号灯泡和2号开关配对，如果不亮则按下1号开关，如果亮则不操作
2. 将2号灯泡和3号开关配对，如果不亮则按下2号开关，如果亮则不操作

思路解释：如果最初的状态是 000 或 111，那么我们没有必要按下任何一个开关。对于其他状态，我们可以通过上述操作将灯泡变为两组，每组有两个灯泡，此时最多只有一盏灯亮，再按下只剩下灭的那个灯泡的开关就可以使得其与之前那组灯泡状态一致，从而使得三个灯泡都亮或都灭的状态。

下面是一个实现该算法的Python 代码片段（markdown标明）：

def toggle(switches, lights):
    for i in range(len(switches)):
        if switches[i]:
            lights[i] = not lights[i]

def solve():
    # 枚举所有可能的开关状态，共8种状态
    for i in range(8):
        switches = [(i >> j) & 1 for j in range(3)]
        lights = [False] * 3
        # 进行两次操作
        toggle(switches, lights)
        toggle(switches[1:] + switches[:1], lights[1:] + [False])
        # 如果得到了期待的结果，输出当前开关状态并退出
        if lights == [True] * 3 or lights == [False] * 3:
            print(switches)
            break

总结

通过使用二进制状态压缩来记录每个灯泡的状态，我们可以快速地处理这个这个谜题。具体而言，只需要进行两次开关操作，就可以使得三个灯泡都亮或都灭。该算法的时间复杂度为 $O(2^3)$，空间复杂度为 $O(1)$。