在N次迭代后找到从第k列中选择元素的概率

问题描述

假设有一个$R$行，$C$列的矩阵$M$，每个元素都是0或1。现在有一只机器人，每次可从任意一列选择一个元素，并根据该元素的值向下移动一行或不移动。重复此操作，直到机器人到达最后一行或某一次选择了值为1的元素并停止。问机器人在进行$N$次迭代后，从第$k$列中选择元素停止的概率为多少。

解题思路

递推式

我们可以设计一个递推式来计算机器人从第$k$列选择元素停止的概率。

设$f(i,j)$表示从第$i$次迭代开始，在第$j$列中选择元素停止的概率。则有：

$$f(i,j) = M_{i,j} + (1-M_{i,j})\sum_{k=1}^Rf(i+1,k)/R$$

其中，$M_{i,j}$表示矩阵$M$中第$i$行，第$j$列的元素值。

递推式的含义为：如果在第$i$次迭代时选择第$j$列的元素，由于该元素的值为$M_{i,j}$，所以停止的概率为$M_{i,j}$。如果不选择第$j$列的元素，则需要将该次迭代的所有列的停止概率都加起来求平均，即$\sum_{k=1}^Rf(i+1,k)/R$。这个值也就是在第$i+1$次迭代中停止的概率，而机器人下一步会走到这一列。

初始状态

对于递推式来说，需要先计算出最后一次迭代的停止概率，然后反向计算出前面每一次迭代的停止概率。

由于机器人在最后一次迭代时一定会停止，所以初始状态为：

$$f(N,j) = 1\ \ (1 \leq j \leq C)$$

即最后一次迭代中选择每一列停止的概率都为1。

反向计算

接下来可以反向计算前面每一次迭代的停止概率，即从$f(N-1,j)$递推到$f(1,j)$。

最后计算从第$k$列中选择元素停止的概率为：

$$P=\sum_{i=1}^Nf(i,k)/N$$

时间复杂度

整个算法的时间复杂度为$O(NRC)$，其中$N$是迭代次数，$R$是矩阵的行数，$C$是矩阵的列数。计算过程中需要遍历整个矩阵，所以时间复杂度为$O(RC)$。一共需要计算$N$次迭代，所以时间复杂度为$O(NRC)$。

代码实现

下面是Python的代码实现，输入为一个$R\times C$的矩阵$M$，$N$为迭代次数，$k$为选择的列数。

def probability(M, N, k):
    R, C = len(M), len(M[0])
    f = [[0] * C for _ in range(N + 1)]
    # 最后一次迭代，选择每列停止的概率都为1
    for j in range(C):
        f[N][j] = 1
    # 反向计算每次迭代的停止概率
    for i in range(N - 1, -1, -1):
        for j in range(C):
            f[i][j] = M[i][j] + (1 - M[i][j]) * sum(f[i + 1]) / R
    # 计算从第k列中选择元素停止的概率
    P = sum([f[i][k] for i in range(N)]) / N
    return P

代码实现中，$f$矩阵用来保存每一次迭代的停止概率，$f[i][j]$表示在第$i$次迭代中选择第$j$列的元素停止的概率。在计算时需要先初始化最后一次迭代，然后反向递推前面每一次迭代的停止概率。最后将第$k$列中选择元素停止的概率相加求平均即可。

总结

本文介绍了如何计算机器人从一个矩阵中选择元素停止的概率。思路是设计一个递推式，用一个矩阵来保存每一次迭代的停止概率，并反向计算前面每一次迭代的概率。时间复杂度为$O(NRC)$。