最大化给定数组中两对之间的余差

本文将介绍一个问题：如何在一个给定的数组中找到两个数对使它们的余差最大化。

问题描述

给定一个由 $n$ 个非负整数构成的数组 $A$，请你找出两个数对 $(A_i, A_j)$ 和 $(A_k, A_l)$，使得它们的余差（即 $|A_i - A_j| - |A_k - A_l|$）最大化。其中 $0 \le i, j, k, l < n$。

解决方案

思路分析

首先，我们可以枚举两个数对，然后计算它们的余差，最后取最大值。但是，这样的时间复杂度是 $O(n^4)$，显然会超时。

考虑优化这个方法。我们可以将问题转化为：找到两个数对 $(A_i, A_j)$ 和 $(A_k, A_l)$，使得它们的值之差（即 $A_i - A_j - A_k + A_l$）最大化。其中 $0 \le i, j, k, l < n$。

接下来，我们考虑如何找到这个最大值。我们可以先将所有的差值（$A_i - A_j$ 和 $A_k - A_l$）存储到一个数组中，然后对这个数组进行排序。假设这个数组为 $B$，排序后的结果为 $B'$，那么最大值就是 $B'_n - B'0$ 或者 $B'{n-1} - B'_1$。

代码实现

下面是一个 Python 实现示例：

def max_diff(arr):
    # 计算差值并排序
    diffs = []
    for i in range(len(arr)):
        for j in range(i + 1, len(arr)):
            diffs.append(arr[i] - arr[j])
    diffs.sort()

    # 计算最大余差
    return max(diffs[-1] - diffs[0], diffs[-2] - diffs[1])

时间复杂度

该方法的时间复杂度为 $O(n^2 \log n)$。其中 $O(n^2)$ 用于计算差值，$O(n^2 \log n)$ 用于排序。如果使用基数排序，则可以将时间复杂度降到 $O(n^2)$。

总结

本文介绍了如何在一个给定的数组中找到两个数对使它们的余差最大化。我们通过转化问题，计算差值并排序的方式，将时间复杂度从 $O(n^4)$ 降到了 $O(n^2 \log n)$。