De Bruijn 序列 |设置 1

De Bruijn 序列是一种具有一些特殊性质的序列，它在计算机科学和数学中发挥着重要作用。其中最常见的一种是 De Bruijn 序列 B(k,n)，它是由 k 个元素构成的所有长度为 n 的不同字符串所组成的最短循环排列。

算法描述

De Bruijn 序列的生成算法是基于欧拉游走算法的变型算法。首先建立一个维度为 k 的一维数组 a，用来保存每次生成的字符串中的字符。然后进行 kn 次迭代，每次迭代选取一个下标 i，其中 0 <= i < k。对于第 j 次迭代，将 a[j] 设为 i，然后检查以 a[j-n+1:j+1] 为后缀的字符串是否出现过。如果出现过，则继续遍历。否则，将该字符串标记为出现过，并将 a[j+1] 设为 0（因为我们想生成尽可能短的序列），重复以上步骤直到 kn 次迭代完成。

实现代码

以下是一个 Python 实现的 De Bruijn 序列生成程序：

def de_bruijn(k, n):
    a = [0] * (n + 1)
    seq = []

    def db(x):
        if x > n:
            seq.append(''.join(str(a[i]) for i in range(1, n + 1)))
        else:
            a[x] = a[x - n]
            db(x + 1)
            for i in range(a[x - 1] + 1, k):
                a[x] = i
                db(x + 1)

    db(1)
    return ''.join(seq) + seq[0][:n - 1]

该实现使用递归函数 db 实现了基于欧拉游走算法的变型算法。其输入参数为 k 和 n，分别表示字符集的大小和生成的字符串的长度。返回结果为 B(k,n) 的一个循环排列。

性能分析

该实现算法的时间复杂度为 O(k^n)，空间复杂度为 O(kn)。由于需要保存中间结果，在 n 较大的情况下可能出现内存不足的情况，因此需要采用其他算法或优化措施来进行处理。