偶数和奇数和的子序列数套装2

在这篇文章中，我们将会探讨一种常见问题的解决方案，即给定一个正整数数列，求该数列中偶数和奇数和相等的子序列个数。

问题分析

我们可以使用动态规划的方法解决该问题。设 $dp[i][j]$ 表示在前 $i$ 个数中选取数，偶数和与奇数和之差为 $j$ 的方案数。

考虑对于第 $i$ 个数，它可以被分为偶数和或奇数和两类。

当将该数分为偶数和时，$dp[i][j]$ 可以由 $dp[i-1][j]$ 转移而来，表示在前 $i-1$ 个数中，偶数和与奇数和之差为 $j$ 的方案数，不包含该数。

当将该数分为奇数和时，$dp[i][j]$ 可以由 $dp[i-1][j-2\times a[i]]$ 转移而来，表示在前 $i-1$ 个数中，偶数和与奇数和之差为 $j-2\times a[i]$ 的方案数，包含该数。

同时，$dp[i][j]$ 还可以由 $dp[i-1][j+2\times a[i]]$ 转移而来，表示在前 $i-1$ 个数中，偶数和与奇数和之差为 $j+2\times a[i]$ 的方案数，不包含该数。

由此，我们可以得到转移方程：

$$ dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-2\times a[i]] + dp[i-1][j+2\times a[i]] $$

代码实现

def solve(nums):
    s = sum(nums)
    if s % 2:
        return 0
    target = s // 2
    dp = [[0] * (2 * target + 1) for _ in range(len(nums) + 1)]
    dp[0][target] = 1
    for i in range(1, len(nums) + 1):
        for j in range(2 * target + 1):
            dp[i][j] = dp[i-1][j]
            if j - 2 * nums[i-1] >= 0:
                dp[i][j] += dp[i-1][j-2*nums[i-1]]
            if j + 2 * nums[i-1] <= 2 * target:
                dp[i][j] += dp[i-1][j+2*nums[i-1]]
    return dp[len(nums)][target]

总结

通过使用动态规划的方法，我们可以在 $O(n\times \sum a_i)$ 的时间复杂度内解决该问题，其中 $n$ 表示数列长度，$\sum a_i$ 表示数列中数值的总和。