门 | GATE CS 2011 | 问题17

这是一道 GATE CS 2011 中的问题，它考察的是有向图的遍历和拓扑排序。题目描述如下：

给定一个有向图 G，它没有环，且顶点编号从 1 到 n，其中 n 是顶点数。同时给出 m 条边的信息，每条边用它的起点和终点表示，两个整数之间用空格分隔。假设 G 中的所有顶点都可以从顶点 1 到达。针对该有向无环图，编写一个程序，计算它的拓扑排序。

要求将排序结果以一行输出，每个数之间用空格隔开。如果有多个完全相同的解，输出其中任意一个即可。

示例输入

5 4
1 2
1 5
2 3
2 4

示例输出

1 2 4 3 5

实现思路

对于有向无环图，它的拓扑排序实际上就是基于有向边的一个序列，满足在这个序列中，若边 (u, v) 存在，则 u 一定在 v 的前面。可以使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）实现拓扑排序，这里使用 DFS 实现。

首先，需要用一个邻接表（adjacency list）存储有向图的边信息，然后使用一个栈（stack）维护那些还未被访问到的顶点。对于每个未被访问到的顶点，进行一次 DFS 搜索，将它所能到达的所有顶点加入栈中。每个顶点对应的 DFS 搜索完成后，将该顶点从栈中弹出并输出。按照这个顺序输出，就得到了有向图的一个拓扑排序。

代码实现

def topological_sort(n, edges):
    """
    :param n: int, number of vertices
    :param edges: List[Tuple[int, int]], list of edges
    :return: List[int], the topological order of vertices
    """
    # construct adjacency list
    adj_list = [[] for _ in range(n)]
    in_degrees = [0] * n
    for u, v in edges:
        adj_list[u-1].append(v-1)
        in_degrees[v-1] += 1

    # push vertices with in-degree 0 to stack
    stack = [u for u in range(n) if in_degrees[u] == 0]

    # topological sort using DFS and stack
    topo_order = []
    while stack:
        u = stack.pop()
        topo_order.append(u + 1)
        for v in adj_list[u]:
            in_degrees[v] -= 1
            if in_degrees[v] == 0:
                stack.append(v)

    return topo_order

其中 n 是顶点数，edges 是边的信息（每条边用一个二元组表示）。这里使用了邻接表和入度表，以便在 DFS 过程中进行拓扑排序。最后将结果输出即可。

时间复杂度

该算法的时间复杂度为 $O(N + M)$，其中 $N$ 是顶点数，$M$ 是边数。使用邻接表存储和更新图的边信息需要 $O(M)$ 的时间，DFS 遍历需要 $O(N)$ 的时间，因此总复杂度为 $O(N + M)$。时间复杂度在 GATE CS 2011 考试中并不是限制因素，因此可以放心使用。