算法 | NP完成 | 问题5

介绍

NP完成是计算机科学中一个非常重要的概念。简单来说，一个问题是NP完成的，就表示它不属于P类问题，即没有多项式时间的算法可解决，但是可以在多项式时间内验证一个解是否正确。

问题5属于NP完成问题，即给定一个有向无环图，求其中最长的路径长度。这个问题很容易看出是NP-hard的，因为如果我们有一个算法可以在多项式时间内解决它，那我们就可以在多项式时间内解决所有的NP问题。

虽然这个问题不存在多项式时间的精确解法，但是我们可以使用动态规划算法来解决它。下面我们就来介绍一下这个算法。

动态规划算法

动态规划算法是解决最长路径问题的一种经典算法。它的基本思想是将问题拆分成若干个子问题，并且保存每个子问题的最优解，在计算下一个子问题的最优解时，只需要使用之前计算出来的最优解即可。

算法的具体实现如下：

1. 对节点进行拓扑排序，得到一个节点的处理顺序。
2. 初始化每个节点的最大距离为0。
3. 对于拓扑排序得到的每个节点，遍历它的所有出边，更新所有出边指向的节点的最大距离为当前节点的最大距离加上边的长度。
4. 最终得到的所有节点中的最大距离即为所求最长路径长度。

下面是算法的Python实现代码：

def longest_path(graph):
    # 拓扑排序
    topo_order = []
    indegrees = [0] * len(graph)
    for node in range(len(graph)):
        for neighbor in graph[node]:
            indegrees[neighbor] += 1
    queue = [i for i in range(len(graph)) if indegrees[i] == 0]
    while queue:
        node = queue.pop(0)
        topo_order.append(node)
        for neighbor in graph[node]:
            indegrees[neighbor] -= 1
            if indegrees[neighbor] == 0:
                queue.append(neighbor)
    # 动态规划
    max_dist = [0] * len(graph)
    for node in topo_order:
        for neighbor, cost in graph[node]:
            max_dist[neighbor] = max(max_dist[neighbor], max_dist[node] + cost)
    return max(max_dist)

总结

虽然问题5是NP-hard问题，但是使用动态规划算法可以在多项式时间内求出它的近似解。动态规划算法的思想可以应用于许多其他问题的求解中，是一个非常重要的算法思想。