配对的T检验-详细概述

简介

配对的T检验（paired t-test）是一种常见的统计方法，用于比较两个相关样本的均值是否有显著差异。该方法的前提是两组数据之间有一定的相关性，即同一组样本在不同时刻或不同条件下的测量值。

原理

配对样本t检验的原理是比较样本均值差异是否显著。假设有两个相关样本：样本 $X=(x_1, x_2, ..., x_n)$ 和样本 $Y=(y_1, y_2, ..., y_n)$，我们要比较它们的均值是否有显著差异。

1. 计算差值$d_i$：$d_i = x_i - y_i$。
2. 计算差值平均值$\bar d$：$\bar d = \dfrac{\sum_{i=1}^n d_i}{n}$。
3. 计算 $d$ 的标准差$s_d$：$s_d = \sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^n (d_i - \bar d)^2}{n-1}}$。
4. 计算 t 统计量：$t = \dfrac{\bar d}{s_d / \sqrt{n}}$。
5. 根据显著性水平和自由度，查表或计算得到检验统计量的临界值，进行假设检验。

假设检验

一般地，假设 $H_0:\mu_d=0$，即差值的均值为0，$H_1:\mu_d\neq0$，即差值的均值不为0。

在配对样本t检验中，检验统计量$t$的分布是t分布，自由度为$n-1$。对于正态分布的配对样本，可以使用这个检验来验证均值差异是否显著。

我们可以将检验结果表示为“在给定的显著性水平$\alpha$下，接受/拒绝原假设$H_0$，表示相应差异是否显著”。

适用条件

1. 样本数据应为配对样本；
2. 差值应服从正态分布或样本容量足够大（n>30），满足中心极限定理的要求；
3. 差值方差在总体差值方差中有显著差异；
4. 差值应为连续变量。

实现方法

我们下面给出一个python的实现，用来计算配对样本t检验的 $t$ 值，同时可根据显著性水平和自由度，查表或计算得到检验统计量的临界值，进行假设检验。

import numpy as np
from scipy.stats import t

def paired_t_test(x, y, alpha, tails):
    n = len(x)
    diff = x - y
    mean_diff = np.mean(diff)
    se = np.std(diff, ddof=1) / np.sqrt(n)
    t_val = mean_diff / se
    df = n - 1
    if tails == "two":
        p_val = 2 * (1 - t.cdf(abs(t_val), df))
    else:
        p_val = 1 - t.cdf(abs(t_val), df)
    if p_val < alpha:
        return f"Reject null hypothesis with t = {t_val} and p-value = {p_val}"
    else:
        return f"Fail to reject null hypothesis with t = {t_val} and p-value = {p_val}"

其中，$x$ 和 $y$ 分别是长度为 $n$ 的配对样本，$alpha$ 是显著性水平，$tails$ 是单侧或双侧检验。函数通过计算差值$d_i$，计算差值平均值$\bar d$，计算差值的标准差$s_d$，计算 t 统计量，然后查表或计算得到检验统计量的临界值，进行假设检验。

总结

配对样本t检验是一种常见的统计方法，适用于比较两个相关样本的均值是否有显著差异。该方法的前提是两组数据之间有一定的相关性。我们可以根据显著性水平和自由度，查表或计算得到检验统计量的临界值，进行假设检验，来验证均值差异是否显著。