门| GATE-CS-2015(模拟测试)|问题14

这是一道关于图论中最小生成树的问题。题目描述如下：

给定一个无向图G，每个边都有一个权值。选出一些边构成一棵生成树，使得这棵生成树中边的权值之和最小。求这个最小值。

这是一个经典问题，可以用Kruskal或Prim算法求解。其核心思想是贪心算法，即每次选取当前最小的边，并且保证已选中的边形成一个树。具体实现方法如下：

Kruskal算法

Kruskal算法的主要思想是维护一个森林，每个节点都是一个树，最终使用并查集将所有树合并成一棵生成树。

算法步骤

1. 将所有边按权值从小到大排序。
2. 依次选择每个边，如果这个边的两个端点在同一个集合中，则不选择这个边；如果这个边的两个端点不在同一个集合中，则选择这个边并将两个集合合并。
3. 重复2直到所有的点都在同一个集合中（也就是只有一棵树为止）。

Kruskal算法实现

下面是Kruskal算法的具体实现代码：

def kruskal(graph):
    # 初始化所有边
    edges = []
    for i in range(len(graph)):
        for j in range(len(graph)):
            if graph[i][j] != 0:
                edges.append((graph[i][j], i, j))

    # 按权值从小到大排序
    edges.sort()

    # 初始化并查集
    parent = [-1] * len(graph)

    # 查找父节点
    def find(parent, i):
        if parent[i] == -1:
            return i
        else:
            return find(parent, parent[i])

    # 合并两个集合
    def union(parent, x, y):
        xroot = find(parent, x)
        yroot = find(parent, y)
        parent[xroot] = yroot

    # 选取最小边
    min_cost = 0
    for edge in edges:
        weight, x, y = edge
        xroot = find(parent, x)
        yroot = find(parent, y)
        if xroot != yroot:
            min_cost += weight
            union(parent, x, y)

    return min_cost

Prim算法

Prim算法的主要思想是维护一个集合，这个集合包含已经加入到生成树的点以及与这些点相邻的边，每次从集合中选择一个距离最近的点以及这个点相邻的边加到生成树中。

算法步骤

1. 初始化一个集合，将其中一个随机点加入到集合中；
2. 循环直到所有的点都在集合中：
   1. 选择集合中距离最近的点v；
   2. 将与点v相邻的边加入到集合中；
   3. 将点v加入到集合中。

Prim算法实现

下面是Prim算法的具体实现代码：

import heapq

def prim(graph):
    # 记录未加入到集合中的点
    unvisited = list(range(len(graph)))
    # 随机选择一个点加入集合中
    visited = [unvisited.pop()]

    min_cost = 0

    while unvisited:
        # 计算相邻的边
        adj_edges = []
        for v in visited:
            for u in unvisited:
                if graph[v][u] != 0:
                    adj_edges.append((graph[v][u], v, u))
        # 选取距离最小的边
        min_edge = min(adj_edges)
        min_cost += min_edge[0]
        # 将点加入集合中
        visited.append(min_edge[2])
        unvisited.remove(min_edge[2])

    return min_cost

总结

Kruskal算法和Prim算法都可以求解最小生成树问题，它们的复杂度都是图中的边数O(|E|)和节点数O(|V|)的函数。在实际应用中，可以根据具体的问题选择其中的一种算法来实现。