如果您曾经尝试创建一个用于解决Sudoku的程序，则可能遇到过Exact Cover问题。在本文中，我们将讨论什么是精确覆盖问题以及Donald Knuth提出的算法“ Algorithm X”来解决此问题。
给定一组X的子集的集合S，一个确切的盖是所述子集S * S的，使得X的每个元素被包含为S中的恰好一个子集*。它应满足以下两个条件–
- S *中任何两个子集的交集应为空。也就是说，X的每个元素最多应包含在S *的一个子集中
- S *中所有子集的并集为X。这意味着并集应包含集合X中的所有元素。因此，可以说S *覆盖了X。
示例(标准表示)–
令S = {A，B，C，D，E，F}，X = {1、2、3、4、5、6、7}，使得–
- A = {1，4，7}
- B = {1，4}
- C = {4，5，7}
- D = {3，5，6}
- E = {2，3，6 7}
- F = {2，7}
那么S * = {B，D，F}是一个精确的覆盖，因为X中的每个元素在{B，D，F}子集中只包含一次。如果我们合并子集，那么我们将获得X的所有元素–
[Tex] B \ bigcup D \ bigcup F = \ {1,2,3,4,5,6,7 \} [\ Tex]
确切的承保范围问题是确定是否存在确切的承保范围的决策问题。它被认为是NP-完全问题。
问题可以以矩阵的形式表示，其中行表示S的子集，列表示X的元素。上述问题可以表示为：
问题矩阵
在矩阵表示的上下文中，我们的确切覆盖范围是对行的选择，以使每一列在所选行中仅包含单个1。因此，我们可以在下面看到，在选定的行B，D，F中，每一列只有一个1。
确切的掩护
算法X
唐纳德·克努斯(Donald Knuth)提出了一种算法X ，该算法可以找到精确覆盖问题的所有解决方案。 Donald Knuth提出的称为DLX的“跳舞链接”技术可以有效地实现算法X。
算法X是递归的，深度优先的回溯算法。它本质上是不确定的，这意味着对于相同的输入，它可以在不同的运行中表现出不同的行为。
以下是算法X的伪代码–
1. If the matrix A has no columns, the current partial solution
is a valid solution; terminate successfully.
2. Otherwise, choose a column c (deterministically).
3. Choose a row r such that A[r] = 1 (nondeterministically).
4. Include row r in the partial solution.
5. For each column j such that A[r][j] = 1,
for each row i such that A[i][j] = 1,
delete row i from matrix A.
delete column j from matrix A.
6. Repeat this algorithm recursively on the reduced matrix A.
r表示方法的非确定性选择，算法会将自身复制到子算法中。每个子算法都继承原始矩阵A，但相对于选择的r减少了矩阵(我们将在示例中很快看到)
子算法形成一个搜索树，其根源是原始问题，并且每个级别k都有子算法对应于上一级选择的行(就像n皇后搜索空间一样)。
如果选择的列c完全为零，则没有子算法，并且该过程未成功终止。 Knuth建议我们选择列中最少为1的列。如果没有剩余的列，那么我们知道我们已经找到了解决方案。
例子
考虑上面的示例，我们将对其应用算法X来找到确切的覆盖范围–
等级– 0
步骤1：我们的矩阵不为空，它具有列，然后继续
步骤2：第一列中的数字最少为1，因此为C-1，因此我们将其选中
步骤3：A和B行在C-1处有1，因此被选中。 
因此，现在算法移至级别1的第一个分支
级别– 1(选择A行)
步骤4：选择A行并将其添加到部分解决方案中
步骤5：A行在第1、4、7列中有1 
C-1在A和B行中有1个，C-4在A，B和C行中有1个，C-7在A，C，E和F行中有1个。 
因此，应删除第1、4、7列以及A，B，C，E和F行。 
步骤1 –矩阵不为空，请继续
步骤2 –最小数目为1的第一列为C-2
由于C-2列中没有1，因此我们的搜索将在此处成功终止。
现在我们的算法将在级别0回溯，并在级别1的第二个分支处继续执行B行
级别– 1(选择B行)
步骤4：选择B行并将其添加到部分解决方案中
步骤– 5：B行在C-1和C-4列中有1 
C-1在A和B行有1。C-4在A，B和C行有1。 
因此C-1，C-2和A，B，C行将从矩阵中删除。 
现在我们重复算法–
步骤1：矩阵不为空，请继续
步骤2：C-5的最小数目为1，因此选择了它。 
步骤3：D行在C-5处有1，因此被选中
现在，算法将移至第2级的第1个分支，矩阵的行为D，E和F
2级(选择D行)
步骤4：选择D行并将其添加到部分解决方案中。
步骤5：C-3，C-5，C-6在D行有1 
在C-3行D和E具有1，在C-5行D具有1，在C-6行D具有1。 
因此，应删除这些行和列，然后剩下一个仅包含F行和2、7列的矩阵。 
现在，我们将重复该算法–
步骤1：矩阵不为空，请继续
步骤2：C-2是第一列，如果其中有1，则为最小数。所以选择了
步骤3：F行在C-2处有1，因此被选中。
现在，算法将移至级别3的第一个分支。
级别– 3(选择F行)
步骤4：将F行添加到部分解决方案中
步骤5：C-2和C-7在F行中的值为1。 
C-2在F行有1个，C-7在F行有1个
因此，应删除C2，C7和F行。删除后，我们将留下一个空矩阵，以便我们的搜索可以在此处成功终止，并且我们有确切的封面{B，D，F}
子算法在2级回溯，并且在3级没有剩余的行。
它进一步回溯到1级。由于在级别1，我们的算法没有剩余行终止。
在下一篇文章中，我们将讨论如何有效地实现DLX来解决Exact Cover。
参考
- https://zh.wikipedia.org/wiki/Exact_cover
- https://zh.wikipedia.org/wiki/Knuth%27s_Algorithm_X