为什么“黄金比例”的值为1.618？它与Binet的公式有何关系？

黄金比率：如果两个数字(例如A和B)的比率等于两个数字之和与较大数字的比率，则称它们为黄金比率。

Suppose A > B, then
If A/B = (A + B)/A = ∅ = 1.618(Golden Ratio),
then these two numbers are said to be in golden ratio. 

用denoted表示，其值等于1.6180339… ，这是一个无理数。

Binet公式：该公式用于查找^{斐波纳契数列中的第}N个项，该项由下式给出：

$F_N = \frac{({\frac{1 + \sqrt 5}{2}})^N + ({\frac{1 - \sqrt 5}{2}})^N}{2}$

where, F_N is the N^th term in the Fibonacci Sequence.

对于等式： (x ² – x – 1 = 0)下面是可以推导的关系：

=> x² – x – 1 = 0
=> x² = x + 1
=> x³ = x*x² = x*(x+1) = x² + x = 2x + 1
=> x⁴ = x*x³ = x*(2x+1) = 2x² + x = 2(x+1) + x = 3x + 2
=> x⁵ = x*x⁴ = x*(3x+2) = 3x² + 2x = 3(x+1) + 2x = 5x + 3

x的下一个幂的下一项可以通过查看上面的模式来猜测。观察到x ^N的系数 等于x ^{(N – 1)}和x ^{(N – 2)}的系数之和。在其余术语中也可以观察到相同的模式。因此，x的下一个幂可以直接表示为：

=> x = x
=> x² = x+1
=> x³ = 2x + 1
=> x⁴ = 3x + 2
=> x⁵ = 5x + 3
=> x⁶ = 8x + 5
=> x⁷ = 13x + 8
…

斐波那契数列由{0，1，1，2，3，5，8，13，13，21，…，}给出，在观察上述两个序列后，两者之间存在关系。可以说：

x^N = f_Nx + f_{(N – 1)}
where, f_N is the nth term in the Fibonacci sequence (n > 0).

现在，让方程的根： (x ² – x – 1 = 0)是∝和β，然后

∝ = (1 + √5)/2
β = (1 – √5)/2

可以说：

=> ∝² – ∝ – 1 = 0 and β² – β – 1 = 0
=> ∝ⁿ = f_n∝ + f_n-1 and βⁿ = f_nβ + f_n-1
=> ∝ⁿ – βⁿ = f_n(∝ – β)
=> f_n = (∝ⁿ – βⁿ) / (∝ – B)

将上式中的values和β值代入后：

$F_N = \frac{({\frac{1 + \sqrt 5}{2}})^N + ({\frac{1 - \sqrt 5}{2}})^N}{2}$

上面的方程式被称为Binet公式。值(1 +√5)/ 2被称为黄金分割率，等于1.618 。因此，第N^个斐波那契数由下式给出：

F_N ≈ ∅^N
where, where, ∅ is the Golden Ratio and F_n is the nth Fibonacci term.

应用范围：

• 黄金比例：它用于建筑，绘画，摄影，并且还以各种形式存在于自然界中，例如鹦鹉螺贝壳，向日葵等。
• Binet的公式：用于在斐波那契数列中找到第N^个项，这使其在数学以及计算机科学的许多领域中非常有用。
• 黄金比例和Binet公式：它们还用于计算算法的时间复杂度，例如欧几里得算法等。