运输问题设置6(MODI方法-UV方法)

解决运输问题分为两个阶段。在第一阶段，必须找到初始的基本可行解，第二阶段需要对在第一阶段中获得的初始基本可行解进行优化。有三种方法可以找到初始的基本可行解，

1. 西北角法
2. 最小成本单元法
3. 沃格尔近似法

本文将通过一个解释的示例讨论如何优化初始基本可行解决方案。考虑以下运输问题。

解决方案：

步骤1：检查问题是否平衡。
如果源O1 ， O2和O3的所有供应的总和等于目的地D1 ， D2 ， D3和D4的所有需求的总和，那么运输问题就是平衡运输问题。

注意：如果问题不是不平衡的，则可以按照本文中讨论的方法，使用虚拟行或虚拟列的概念将不平衡问题转换为平衡。

步骤2：找到最初的基本可行解决方案。
可以使用上述三种方法中的任何一种来找到初始的基本可行解。在这里，将使用“西北角法”。根据西北角法，这是最终的初始基本可行解决方案：

现在，运输的总成本将为(200 * 3)+(50 * 1)+(250 * 6)+(100 * 5)+(250 * 3)+(150 * 2)= 3700 。

步骤3：使用UV方法优化初始基本可行解决方案。
以下是最初的基本可行解决方案：

–对于UV方法，必须分别为行和列找到值u _i和v _j。由于有三排所以三U _I值具有即U ₁被发现对于第一行，U ₂为第二行和u ₃为第三行。
类似地，对于四列，必须找到四个v _j值，即v ₁ ， v ₂ ， v ₃和v ₄ 。查看下面的图片：

有一个单独的公式可以找到u _i和v _j ，
u _i + v _j = C _ij ，其中C _ij是仅分配单元的成本值。在这里阅读更多有关它的信息。

在应用上述公式之前，我们需要检查m + n – 1是否等于分配的单元格总数，其中m是总行数， n是总列数。
在这种情况下，m = 3，n = 4，分配的小区总数为6，因此m + n – 1 = 6。以后的帖子。

现在，要找到u和v的值，我们将三个u中的任何一个或四个v中的任何一个分配为0。在这种情况下，让我们将u ₁ = 0分配。然后使用上面的公式，我们将得到v ₁ = 3作为u ₁ + v ₁ = 3 (即C ₁₁ )和v ₂ = 1作为u ₁ + v ₂ = 1 (即C ₁₂ )。同样，我们得到了v ₂ = 1的值，所以我们得到了u ₂ = 5的值，这意味着v ₃ = 0 。从v ₃ = 0的值，我们得到u ₃ = 3 ，这意味着v ₄ = -1 。见下图：

现在，仅对未分配的单元格使用公式P _ij = u _i + v _j – C _{ij计算惩罚。}第一行有两个未分配的单元格，第二行有两个，第三行有两个。让我们一一计算。

1. 对于C ₁₃ ， P ₁₃ = 0 + 0 – 7 = -7 (此处C ₁₃ = 7 ， u ₁ = 0且v ₃ = 0 )
2. 对于C ₁₄ ， P ₁₄ = 0 +(-1)-4 = -5
3. 对于C ₂₁ ， P ₂₁ = 5 + 3 – 2 = 6
4. 对于C ₂₄ ， P ₂₄ = 5 +(-1)– 9 = -5
5. 对于C ₃₁ ， P ₃₁ = 3 + 3 – 8 = -2
6. 对于C ₃₂ ， P ₃₂ = 3 +1 – 3 = 1

规则：如果我们将所有惩罚值设为零或负值，则表示已达到最优，此答案就是最终答案。但是，如果我们获得任何正值，则意味着我们需要在下一步中进行总和。

现在找到最大的正罚。此处的最大值是6，对应于C ₂₁电池。现在，此单元格是新的基本单元格。该单元格也将包含在解决方案中。

绘制闭合路径或回路的规则。从新的基本像元开始绘制闭合路径，以使直角转弯仅在分配的像元或新的基本像元处完成。见下图：

向循环中具有直角转弯(或转角)的所有单元格分配备用正负号，并在新的基本单元格上分配正号。

考虑带有负号的单元格。比较分配的值(在这种情况下为200和250)并选择最小值(在这种情况下选择200)。现在从带有减号的单元格中减去200，并向带有加号的单元格中添加200。并绘制一个新的迭代。循环的工作已经结束，新的解决方案如下所示。

检查分配的单元总数是否等于(m + n – 1)。再次使用公式u _i + v _j = C _ij查找u值和v值，其中C _ij是仅分配单元格的成本值。分配u ₁ = 0，则得到v ₂ = 1 。类似地，我们将得到u _i和v _j的以下值。

使用公式P _ij = u _i + v _j – C _ij找出所有未分配单元格的惩罚。

1. 对于C ₁₁ ， P ₁₁ = 0 +(-3)– 3 = -6
2. 对于C ₁₃ ， P ₁₃ = 0 + 0 – 7 = -7
3. 对于C ₁₄ ， P ₁₄ = 0 +(-1)– 4 = -5
4. 对于C ₂₄ ， P ₂₄ = 5 +(-1)– 9 = -5
5. 对于C ₃₁ ， P ₃₁ = 0 +(-3)– 8 = -11
6. 对于C ₃₂ ， P ₃₂ = 3 +1 – 3 = 1

C ₃₂有一个正值，即1。现在，此单元格成为新的基本单元格。

现在从新的基本单元开始绘制一个循环。用新的基本单元格分配一个正号和负号。

从分配的值中选择带有负号的单元格中的最小值。从带有减号的单元格中减去此值，然后将其加到带有加号的单元格中。现在，解决方案如下图所示：

检查分配的单元格总数是否等于(m + n – 1)。如上找到u和v值。

现在再次找到上述未分配单元的惩罚。

1. 对于P ₁₁ = 0 +(-2)– 3 = -5
2. 对于P ₁₃ = 0 +1-7 = -6
3. 对于P ₁₄ = 0 + 0 – 4 = -4
4. 对于P ₂₂ = 4 +1-6 = -1
5. 对于P ₂₄ = 4 + 0 – 9 = -5
6. 对于P ₃₁ = 2 +(-2)– 8 = -8

所有惩罚值均为负值。因此达到了最优。

现在，找到总成本，即(250 * 1)+(200 * 2)+(150 * 5)+(50 * 3)+(200 * 3)+(150 * 2)= 2450