构造解释为二进制数可被 2、3、4 整除的 DFA

什么是 DFA

DFA 是 Deterministic Finite Automaton 的缩写，即确定有限状态自动机。它是一种用来识别或者接受一种语言的模型机器。DFA 是一种抽象的机器模型，有一个输入、输出和状态的状态转化表。

DFA构造

DFA的五元组定义

DFA 由下面五元组来定义：

• Q：状态集合，用有限个状态描述该机器的内部状态；
• Σ：输入字母表，有限个字符组成的集合，描述所有可能的输入符号；
• δ: 状态转移函数，Q×Σ→Q，描述状态转换关系；
• q0：初始状态，表示识别过程开始的状态；
• F：接受状态集合，FQ，描述识别过程中的终止状态。

构造步骤

该 DFA 能够识别的串满足以下条件：

• 当串的长度为 0 时，它是可以被 2、3、4 整除的；
• 当串的长度为 n 个二进制数时，它是可以被 2、3、4 整除的。

我们可以用以下步骤来构造这个 DFA：

1. 创建一个状态集合；
2. 添加所有可能的输入符号；
3. 针对每个输入符号和状态，建立一个状态转换表；
4. 标记接受状态；
5. 把起始状态加入 DFA。

DFA代码实现

# 状态集合
states = {'s0', 's1', 's2', 's3', 's4', 's5'}

# 输入字母表
sigma = {'0', '1'}

# 状态转移函数
delta = {
    ('s0', '0'): 's0', ('s0', '1'): 's1',
    ('s1', '0'): 's2', ('s1', '1'): 's3',
    ('s2', '0'): 's4', ('s2', '1'): 's5',
    ('s3', '0'): 's2', ('s3', '1'): 's3',
    ('s4', '0'): 's0', ('s4', '1'): 's1',
    ('s5', '0'): 's4', ('s5', '1'): 's5',
}

# 接受状态
finals = {'s0', 's2', 's4'}

# 起始状态
start = 's0'

# 定义 DFA
dfa = (states, sigma, delta, start, finals)

总结

通过以上构造步骤和代码实现，我们成功构造了解释为二进制数可被 2、3、4 整除的 DFA，它能够识别并接受所有满足上述条件的二进制数串。这种自动识别模型在很多计算机科学应用领域都有广泛的应用，比如编译原理、人工智能等方面。