数学|旋转固体的面积

考虑在纵坐标x = a和x = b之间的xy平面中的平面y = f(x)。如果此曲线的某个部分绕轴旋转，则会生成旋转的实体。

我们可以通过多种方式来计算这次革命的范围，例如：

1. 笛卡尔形式：
   • 通过围绕X轴旋转曲线的弧线而形成的固体区域为-
     $S= \int_{x=a}^{x=b} 2\pi y\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}dx$
   • 通过围绕y轴旋转曲线的旋转面积为-
     $S= \int_{y=c}^{y=d} 2\pi x \sqrt{1+(\frac{dx}{dy})^2}dy$
2. 参数形式： $x=x(t), y=y(t)$
   • 关于x轴：
     $S=\int_{t=t_{1}}^{t=t_{2}} 2\pi y(t) \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}dt$
   • 关于y轴：
     $S=\int_{t=t_{1}}^{t=t_{2}} 2\pi x(t) \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}dt$
3. 极坐标形式：r = f(θ)
   • 关于x轴：初始线$\theta = \frac{\pi}{2}$
     $S= \int_{\theta=\theta_1}^{\theta _2}2\pi y\frac{ds}{d\theta}d\theta$
     $=\int_{\theta=\theta_1}^{\theta _2}2\pi (r sin\theta) \sqrt{r^2+(\frac {dr}{d\theta})^2}d\theta$
     在这里用f(θ)代替r
   • 关于y轴：
     $S= \int_{\theta=\theta_1}^{\theta _2}2\pi x\frac{ds}{d\theta}d\theta$
     $=\int_{\theta=\theta_1}^{\theta _2}2\pi (r cos\theta) \sqrt{r^2+(\frac {dr}{d\theta})^2}d\theta$
     在这里用f(θ)代替r
4. 关于任何轴或线L： $S= \int 2\pi (PM) ds$其中PM是曲线的点P到给定轴的垂直距离。
   • x的极限：x = a到x = b
     $S=\int_{x=a}^{x=b} 2\pi (PM)\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}dx$
     这里PM用x表示。
   • y的极限：y = c到y = d
     $S= \int_{y=c}^{y=d} 2\pi (PM)\sqrt{1+(\frac{dx}{dy})^2}dy$
     这里PM以y表示。

   例子：
   找到通过抛物线旋转产生的旋转固体的区域$y^2=4ax, 0\leq x \leq 3a$关于x轴。
   解释：
   现在我们得到了抛物线方程的笛卡尔形式，并且抛物线已经绕x轴旋转。因此，我们使用绕x轴旋转笛卡尔形式的公式为：

   $S= \int_{x=a}^{x=b} 2\pi y\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}dx$

   这里$y^2= 4ax$ 。现在我们需要计算dy / dx

   区分wrt x我们得到：

   $2yy'= 4a$

   $y'=\frac{2a}{y}$

   $1+(y')^2=1+\frac {4a^2}{y^2}=\frac{y^2+4a^2}{y^2}$

   使用$y^2=4ax$

   $\sqrt {1+(y')^2}=\sqrt{\frac{4ax+4a^2}{y^2}}=\frac{2\sqrt a}{y}\sqrt {a+x}$

   现在我们得到了x的极限，即x = 0到x = 3。将我们的计算值插入上面的公式中，我们得到：

   $S=\int_{0}^{3a} 2\pi y.{\frac{2\sqrt a}{y}\sqrt {a+x}}dx$

   $=2\pi\int_{0}^{3a} y.{\frac{2\sqrt a}{y}\sqrt {a+x}}dx$

   $=4\pi\sqrt a\int_{0}^{3a}\sqrt {a+x}$

   $=4\pi\sqrt a\int_{0}^{3a}\frac{2}{3}(x+a)^{3/2}\Biggr|_{0}^{3a}$

   $=\frac{8}{3}\pi\sqrt a ((4a)^{3/2}-(a)^{3/2})$

   $=\frac{8}{3}\pi\sqrt a.a^{3/2}(8-1)$

   $=\frac{56\pi a^2}{3} sq. units$