算法样本问题套装3 |时序分析

问题1： T(n)的渐近边界是什么?

$T(n) = \sum_{i=2}^{n} log_{i}n = log_{2}n + log_{3}n + \ldots + log_{n}n$

1. θ(n * log(n))
2. θ(n ² )
3. θ(n)
4. θ(n * log ² (n))
5. θ(n ² * log ² (n))

答：3
说明：要找到合适的上下边界，首先想到的一种方法是将sigma表示法扩展为单个术语，在其中可以检测到某些模式。这样，它有助于定义一些可以接受的上下边界，并且它们的组合可能会导致可能的解决方案。

关于指定这些边界，有一些提示如下：

• 很明显，对于任何大于＆Sqrt;的k n ，每个log _k n应该小于log _{＆Sqrt; n} n = 2，而大于log _n n =1。在数学语言中：
  1. 对于k>＆Sqrt;的UPPER边界的提示。 n ：

     $\forall k \geq \sqrt{n}, log_{k}n \leq log_{\sqrt{n}}n = 2$

     $\Rightarrow \sum_{i=[\sqrt{n}]}^{ n } log_{i}n \leq \sum_{i=[\sqrt{n}]}^{ n } 2$

  2. 对于k>＆Sqrt;的LOWER边界的提示n ：

     $\forall k \geq \sqrt{n}, log_{k}n \geq log_{n}n = 1$

     $\Rightarrow \sum_{i=[\sqrt{n}] + 1}^{ n } log_{i}n \geq \sum_{i=[\sqrt{n}] + 1}^{ n } 1$

• 除此之外，随着对数底数的增加，其值减小。因此，由第一个sigma的扩展引起的项均不能大于第一个ter，log ₂ n，也不能小于最后一个，即log _{＆Sqrt;。 n} n;换句话说
  1. 关于UPPER边界的另一个提示，但这一次是k <＆Sqrt; n ：

     $\forall k \leq \sqrt{n}, log_{k}n \leq log_{2}n$

     $\Rightarrow \sum_{i=2}^{ [\sqrt{n}] } log_{i}n \leq \sum_{i=2}^{ [\sqrt{n}] } log_{2}n$

  2. 关于下界的另一个提示，但是这次是k <＆Sqrt; n ：

     $\forall k \leq \sqrt{n}, log_{k}n \geq log_{\sqrt{n}}n = 2$

     $\Rightarrow \sum_{i=2}^{ [\sqrt{n}] } log_{i}n \geq \sum_{i=2}^{ [\sqrt{n}] } 2$

遵循以下提示即可：

1. 下边界：

   $\sum_{i=2}^{n} log_{i}n = \sum_{i=2}^{ [\sqrt{n}] } log_{i}n + \sum_{i=[\sqrt{n}]+1}^{n} log_{i}n$

   $\leq \sum_{i=2}^{ [\sqrt{n}] } log_{2}n + \sum_{i=[\sqrt{n}]+1}^{n} 2$

   $= ([\sqrt{n}] - 1) * log_{2}n + (n - [\sqrt{n}]) * 2$

   $\approx 2 * n + \sqrt{n} * (log_{2}n - 2) - log_{2}n$

   $\Rightarrow T(n) \in O( 2 * n + \sqrt{n} * (log_{2}n - 2) - log_{2}n ) = O( n )$

2. 上限：

   $\sum_{i=2}^{n} log_{i}n = \sum_{i=2}^{ [\sqrt{n}] } log_{i}n + \sum_{i=[\sqrt{n}]+1}^{n} log_{i}n$

   $\geq \sum_{i=2}^{ [\sqrt{n}] } log_{[\sqrt{n}]}n + \sum_{i=[\sqrt{n}]+1}^{n} 1$

   $= ([\sqrt{n}] - 1) * 2 + (n - [\sqrt{n}]) * 1$

   $\approx n + \sqrt{n} - 2$

   $\Rightarrow T(n) \in \Omega(n + \sqrt{n} - 2) = \Omega( n )$

到目前为止得出的结果表明，T(n)的增长不能超过O(n)，也不能小于＆ohm;(n);。因此，T(n)的渐近复杂度阶为：

$T(n) \in \Theta(n)$

问题2：给定程序的运行时间顺序是什么?

C PROGRAM: Input n of type integer
  for(i= 2; i

1. θ(n)
2. θ(n * log(n))
3. θ(n ² )
4. θ(n * log ² log(n))
5. θ(n ² * log ² (n))

答：1

说明：每行的运行时间分别如下所示：

1. 第一行代码t ₁ (n)为：
   for(i = 2; i //运行(n – 2)次；所以这条线的时间复杂度是θ(n)
2. 第二条代码行t ₂ (n)为：
   对于(j = 1;Ĵ登录₂ ^N +登录₃ ^N + … +日志_N-1 ^N _=ΣlogI ^N＆中;根据本文上一个问题的Θ(n)in(请参阅问题1)
3. 第三条代码行t ₃ (n)为：
   //一条代码行Θ(1) ::内部循环，因此它的排序时间与上一行的Θ(n)相同

程序的总时间复杂度T(n)是每行t _i (n)的总和，i = 1..3，如下所示：

$T(n) \in \Theta( n ) + \Theta( n ) + \Theta( n ) = \Theta( n )$

问题3：给出以下递推方程T(n)。为了具有T(n)＆in ;，多少个建议的g _i (n)，i = 1..5，函数是可以接受的。当f(n)= g _i (n)时θ(f(n))?

$T(n) = 8 * T(\frac{n}{2}) + f(n)$
$g_{1}(n) = n^{4}, g_{2}(n) = n^{3.01}, g_{3}(n) = n^{3},$
$g_{4}(n) = n^{3} * log(n), g_{5}(n) = n^{3} * log^{-1}(n)$

1. 1个
2. 2个
3. 3
4. 4
5. 5

答：2
说明：掌握定理及其扩展对轻松解决此问题有很大帮助。主定理的一般形式可以表示为：

$T(n) = a* T( \frac{n}{b}) + f(n), \forall a\geq 1, b > 1$

为了使用主定理，需要看到具有特定“ a”，“ b”和“ f(n)”的给定问题满足该定理的那种情况的条件。主定理的三种情况及其条件是：

• 情况1：发生这种情况时，递归树是繁重的工作(拆分/重组问题的工作因子问题而相形见)。)

  $\forall \epsilon>0, f(n) \leq n^{log_{b}{a- \epsilon} } \Rightarrow T(n) \in \theta (n^{lob_{b}{a}})$

• 情况2：当拆分/重组问题的工作可与子问题相提并论时，就会发生这种情况。

  $f(n) \in \theta( n^{log_{b}{a}} * (log(n))^{k}) \Rightarrow T(n) \in \theta( n^{log_{b}{a}} *(log(n))^{k+1} )$
  $\forall k \geq 0$

• 情况3：这种情况发生在递归树是根密集型的情况下(拆分/重组问题的工作主导着子问题)。

  $\forall \epsilon>0, f(n) \geq n^{log_{b}{a + \epsilon} } \Rightarrow T(n) \in \theta (f(n))$

主定理的广义第二种情况，即所谓的高级主定理，处理所有k值。它说：

• $\forall k > -1,$

  $f(n) \in \theta( n^{log_{b}{a}} * (log(n))^{k}) \Rightarrow T(n) \in \theta( n^{log_{b}{a}} *(log(n))^{k+1} )$

• $k = -1,$

  $f(n) \in \theta( n^{log_{b}{a}} * (log(n))^{-1}) \Rightarrow T(n) \in \theta( n^{log_{b}{a}} *log(log(n)) )$

• $\forall k < -1,$

  $f(n) \in \theta( n^{log_{b}{a}} * (log(n))^{k}) \Rightarrow T(n) \in \theta( n^{log_{b}{a}} )$

这个问题的答案是主定理的第三种情况，其中T(n)等于Θ(f(n))；因此，为了使T(n)=θ(f(n))，n ^{log _b a}与f(n)之间应存在多项式差“ε”；因此，函数g ₁ (n)和g ₂ (n)满足Master定理的第三种情况。为它们找到的“ε”的值分别是1和0.01。

问题4：对于该多输入变量程序，哪个选项描绘了一个真实的渐近分析，同时对输入和输出的相对增长有深入的了解(先验知识)，例如m＆in;。 Θ(n)?

C PROGRAM: inputs m and n of type integer 
  for(i= 1; i<= n; i=i+1) : n
   for(j = 1; j <= m; j= j * 2)
    for(k = 1; k <= j; k= k+1)
     \\ A code line of Θ(1)

1. θ(n * m *(m + 1)/ 2)
2. θ(n * m + n * log ² (m))
3. θ(m ³ )
4. θ(n ² )
5. θ(n ² * log ² (n))

答：4

说明：为了根据输入n和m，T(n，m)计算程序的时间复杂度，第一步是获得每条线的运行时间t _i (n，m)，如下所示：

1. for(i = 1; i <= n; i = i + 1) //运行n次

   $t_{1}(n, m) \in \Theta(n)$

2. for(j = 1; j <= m; j = j * 2) //重复log ₂ (m)次，它在另一个循环中，将其相乘n次

   $t_{2}(n, m) \in \Theta ( n * log(m) )$

3. for(k = 1; k <= j; k = k + 1) //运行2 + 4 + 8 +…+ 2 ^log(m)次

   $2 + 4 + 8 + \ldots + 2^{log(m)} = 2* (2^{log(m)} - 1) = 2*m - 2$

   这也在外部循环(第一个“ for”循环)内部，该循环本身迭代n次

   $t_{3}(n, m) \in \Theta ( m * n )$

4. \\代码行Θ(1)与上一行Θ(m * n)相同

   $t_{4}(n, m) \in \Theta ( m * n )$

该程序的总运行时间顺序为：

$T(n, m) \in \sum_{i=1}^{4} \Theta ( t_{i}(n, m) ) \Rightarrow$

$T(n, m) \in \Theta(n) + \Theta(n* log(m)) + \Theta(n*m) + \Theta(n*m) = \Theta(n*m)$

根据给定的先验知识，它甚至可以进一步简化，即m＆in;。 Θ(n)或n＆in; Θ(米)：

$T(n, m) \in \Theta(n^{2}) or \Theta(m^{2})$

问题5：有一个整数矢量，称为V []，其长度为“ N”。
对于特定问题(程序)，给定Σi _{= 1} ^N | V [i] | =P。
以下代码段的时间复杂度是多少? [不用说，P也是整数]

Tmp = -1;
  For r= 1 to N
   For S = 1 to V[r]
    Tmp = Tmp + 20;

1. O(N + 2 * N * P)
2. O(N * P)
3. O(N ² )
4. O(P ² )
5. O(2 * P + N)

答：5
说明：每行将执行的时间数及其总时间复杂度如下所示：

Tmp = -1; //θ(1)
对于r = 1到N // N次;所以它是θ(N)
对于S = 1到V [r] //不能大于| V [r] |时代因此总次数为O(Σr _{= 1} ^N | V [r] |)= O(P)
Tmp = Tmp + 20; //与上一行O(P)相同

为了找到给定程序的时间复杂度，需要牢记三个事实：

1. 每个V [r]都可以采用任何整数值(甚至为零或负数)，但这并不重要，因为所有负值都不会导致在C等编程语言中不执行第二个循环。但是，在编程语言中，它允许倒数(或迭代)负数，但算法的分析不取决于编程语言，而分析仅基于算法本身。可以肯定地说的是问题中给出的信息；因此，精明的操作是考虑| V [r] |的绝对值。并使用O()表示法来摆脱卡住的情况。否则，必须说程序的运行时间至少等于执行第一个循环所需的时间，即Ω(N)
2. 尽管该程序的运行时间顺序似乎并不依赖于两个变量，但是没有更多的信息可用于比较P和N；这需要进一步的分析。因此，渐近复杂度取决于P和N的值；换句话说，有T(N，P)个复杂度函数而不是T(N)。
3. O()表示法定义的边界比＆theta()表示法指定的紧密边界更宽松。因此，θ()和O()的和为O()类型。在这个问题中，程序的总时间复杂度是所有代码行复杂度的总和，即θ(1)+θ(N)+ O(P)+ O(P) ，属于集合O(2 * P + N + 1)或O(2 * P + N)。

考虑到上述所有因素，一个渐近复杂度可以为T(N，P)∈O(2 * | P | + N)；但是，变量的系数在渐近分析的最后一步并不重要，因为它们都属于同一组复杂度函数，并且复杂度也可以表示为O(| P | + N)。

来源：

1. 伊朗大学考试的汇编(包括一些摘要，修改和翻译)