Erdos Renyl模型(用于生成随机图)

在图论中，Erdos-Rényi模型是用于生成随机图的两个紧密相关的模型之一。

Erdos-Rényi(ER)随机图模型有两个密切相关的变体。

在G(n，M)模型中，从具有n个节点和M个边的所有图的集合中随机均匀地选择一个图。例如，在G(3，2)模型中，三个顶点和两个边上的三个可能的图形中的每一个都以1/3的概率包含在内。
在G(n，p)模型中，通过随机连接节点来构造图。每个边以独立于其他每个边的概率p包含在图中。等效地，所有具有n个节点和M个边的图具有相同的概率
$p^M (1-p)^\binom{n}{2}-M$

由Erdos和Rényi的二项式模型生成的图(p = 0.01)

该模型中的参数p可以被认为是一个加权函数;当p从0增加到1时，模型变得越来越可能包含具有更多边的图，而越来越少地包含具有更少边的图。特别地，p = 0.5的情况对应于所有$2^{\binom{n}{2}}$以相等的概率选择n个顶点上的图形。
本文基本上将讨论G(n，p)模型，其中n是要创建的节点数，而p定义每个节点相互连接的概率。

G(n，p)的性质
使用上面的表示法，G(n，p)中的图平均具有${\binom{n}{2}}p$边缘。任何特定顶点的度数分布都是二项式的：

$P(deg(v)=k)=\binom{n-1}{k}{p^k}{1-p^{n-1-k}}$

其中n是图中顶点的总数。自从

$P(deg(v)=k)\rightarrow\frac{{np^k}{e^{-np}}}{k!}$作为$n\rightarrow infinity$和np =常数

对于较大的n和np = const，此分布为泊松分布。

在1960年的论文中，Erdos和Rényi非常精确地描述了g(n，p)对于p的各种值的行为。他们的结果包括：

如果np <1，则G(n，p)中的图几乎可以肯定没有大小大于O(log(n))的连通分量。

如果np = 1，则G(n，p)中的图几乎肯定会具有最大分量，其大小约为$n^{2/3}$ 。

如果np $\rightarrow$ c> 1，其中c为常数，则G(n，p)中的图几乎肯定会具有包含正分数顶点的唯一巨型分量。没有其他组件包含超过O(log(n))个顶点。

如果$p<\frac{(1-\varepsilon )ln n}{n}$ ，则G(n，p)中的图几乎肯定会包含孤立的顶点，因此将断开连接。

如果$p>\frac{(1+\varepsilon )ln n}{n}$ ，那么几乎可以肯定地连接了G(n，p)中的图。

因此$\frac{ln n}{n}$是G(n，p)的连通性的一个敏锐阈值。
随着n趋于无穷大，可以几乎精确地描述该图的其他属性。例如，存在一个ak(n)(大约等于2log2(n))，以使G(n，0.5)中的最大派系几乎肯定具有k(n)或k(n)+ 1的大小。
因此，即使在图中找到最大团的大小是NP完全的，但“典型”图中最大团的大小(根据此模型)还是非常容易理解的。有趣的是，Erdos-Renyi图的边对偶图是具有几乎相同的度数分布，但具有度数相关性和明显更高的聚类系数的图。

接下来，我将描述用于制作ER图的代码。为了实现下面的代码，您还需要安装netwrokx库，还需要安装matplotlib库。接下来，您将看到图的确切代码，该图最近已被用作networkx库的函数。

Erdos_renyi_graph(n，p，seed = None，directed = False)

返回G(n，p)随机图，也称为Erd?sRényi图或二项式图。
G(n，p)模型以概率p选择每个可能的边。
函数binomial_graph()和erdos_renyi_graph()是此函数的别名。

参数：n(int)–节点数。
p(浮点数)–边缘创建的概率。
seed(整数，可选)–随机数生成器的种子(默认为无)。
有向图(布尔型，可选(默认为False))–如果为True，则此函数返回有向图。

#importing the networkx library
>>> import networkx as nx
  
#importing the matplotlib library for plotting the graph
>>> import matplotlib.pyplot as plt
  
>>> G= nx.erdos_renyi_graph(50,0.5)
>>> nx.draw(G, with_labels=True)
>>> plt.show()

图1：对于n = 50，p = 0.5

上面的示例适用于50个节点，因此不清楚。
考虑较少节点数(例如10个)的情况时，您可以清楚地看到区别。
使用各种概率的代码，我们可以轻松看到差异：

>>> I= nx.erdos_renyi_graph(10,0)
>>> nx.draw(I, with_labels=True)
>>> plt.show()

图2：对于n = 10，p = 0

>>> K=nx.erdos_renyi_graph(10,0.25)
>>> nx.draw(K, with_labels=True)
>>> plt.show()

图3：对于n = 10，p = 0.25

>>>H= nx.erdos_renyi_graph(10,0.5)
>>> nx.draw(H, with_labels=True)
>>> plt.show()

图4：对于n = 10，p = 0.5

该算法在O( $n^2$ ) 时间。对于稀疏图(即，对于p的较小值)，fast_gnp_random_graph()是一种更快的算法。
因此，以上示例清楚地定义了使用erdos renyi模型制作随机图的方法，以及如何使用Python的networkx库使用前述方法。
接下来，我们将使用库networkx在Python讨论自我图和各种其他类型的图。

参考
您可以在以下位置阅读更多有关此内容的信息

https://zh.wikipedia.org/wiki/Erd%C5%91s%E2%80%93R%C3%A9nyi_model

http://networkx.readthedocs.io/en/networkx-1.10/index.html

。