最大比率连续子数组

简介

最大比率连续子数组问题是一类经典的动态规划问题，求解在一维数组中，比率最大的连续子数组。常用的解法有暴力枚举、贪心算法、动态规划等。

解法

暴力枚举

暴力枚举法是最直观的解法，可以枚举所有的连续子数组，计算它们的比率，最后得到比率最大的子数组。时间复杂度为 $O(n^2)$。

def maxSubArray(nums):
    n = len(nums)
    max_ratio = float('-inf')
    for i in range(n):
        for j in range(i, n):
            ratio = sum(nums[i:j+1]) / (j-i+1)
            max_ratio = max(max_ratio, ratio)
    return max_ratio

贪心算法

贪心算法是一种局部最优解决方法，它通过选择当前最优解来获得全局最优解。对于该问题，可以使用贪心算法，每次选择最大的正数或最小的负数。时间复杂度为 $O(n)$。

def maxSubArray(nums):
    n = len(nums)
    max_ratio, cur_ratio = float('-inf'), 1
    for i in range(n):
        cur_ratio *= nums[i]
        max_ratio = max(max_ratio, cur_ratio)
        if cur_ratio == 0:
            cur_ratio = 1
        elif cur_ratio < 0:
            cur_ratio = -cur_ratio
    return max_ratio if max_ratio != float('-inf') else 0

动态规划

动态规划是一种自底向上的设计方法，将问题分解为更小的子问题，并将它们的解缓存起来。对于该问题，可以使用动态规划，通过维护一个最小的正数和最大的负数，来计算最大比率子数组。时间复杂度为 $O(n)$。

def maxSubArray(nums):
    n = len(nums)
    max_ratio, max_pos, min_neg = float('-inf'), 1, 1
    for i in range(n):
        if nums[i] > 0:
            max_pos, min_neg = max(max_pos*nums[i], nums[i]), min(min_neg*nums[i], 1)
        elif nums[i] < 0:
            max_pos, min_neg = max(min_neg*nums[i], 1), min(max_pos*nums[i], nums[i])
        else:
            max_pos, min_neg = 1, 1
        max_ratio = max(max_ratio, max_pos)
    return max_ratio if max_ratio != float('-inf') else 0

总结

该问题是一类经典的动态规划问题，可以使用暴力枚举、贪心算法、动态规划等方法来解决。其中，动态规划是最优解决方法。