算法|复发|套装1

• 问题1：以下哪个是T ³ (n)的值，其中T ³ (n)定义为T ³ (n)= 5 * T ³ (n-1)– 4 * T ³ (n-2)
  1. C ₁ * 5 ⁿ + C ₂ * 4 ⁿ
  2. C ₁ + C ₂ * 4 ⁿ
  3. C ₁ * 2 ⁿ + C ₂ * 4 ⁿ
  4. C ₁ * 5 ⁿ + C ₂ *(-4) ⁿ

  答： 2

  说明：递归函数(方程式)似乎有一个奇怪的形式。让我们更改变量T ² (n)以获得熟悉形式的方程；因此，我们让A(n)= T ³ (n);那么我们有：

  $A(n) = 5*A(n - 1) - 4*A(n - 2)$

  我们新的微分方程的特征方程为：

  $r^{2} - 5*r + 4 = 0 \Rightarrow (r-4)(r-1) = 0$

  因此，该方程的齐次解应为：

  $A(n) = C_{1} * 1^{n} + C_{2} * 4^{n} = C_{1} + C_{2} * 4^{n}$

  正如我们定义的A(n)= T ³ (n)，最后的答案是：

  $T^{3}(n) = C_{1} + C_{2} * 4^{n} = C_{1} + C_{2} * 4^{n}$

• 问题2：以可以使F(n)=(n + 2)的方式确定初始条件F(1)的值！作为以下给定递归函数的解决方案：

  F(n) = (n+1) * F(n-1) + (n+1)! 
  

  1. 3
  2. 4
  3. 6
  4. 2个

  答： 3

  说明：通过使用迭代技术来求解给定的递归函数，我们将具有：

  $F(n) = (n+1) * F(n - 1) + (n+1)! = (n+1) * (n*F(n-2) + n!) + (n+1)! =(n+1)*(n)*F(n-2) + 2* (n+1)!$

  如果继续进行这些推导，我们可以很容易地猜到答案应该是以下形式：

  $F(n) = (n+1)(n)(n - 1)* ... *(n - k + 2)F(n - k) + k * (n+1)!$

  迭代方法的最后一步(停止点)是当我们达到初始条件F(1)时；因此，我们令k = n-1，并且非递归形式为：

  $F (n) = (n + 1)*(n)*(n - 1)*...*(3) * F(1) + (n - 1) * (n+1)!$

  $= (n + 1)*(n)*(n - 1)*...*(3) * (2 * \frac{1}{2}) * F(1) + (n - 1) * (n+1)!$

  $= (n+1)! * ( \frac{F(1)}{2}) + (n - 1) * (n+1)! = (n+1)! * (\frac{F(1)}{2} + (n - 1))$

  根据给定的函数F(n)以及到现在为止我们得出的结果是：

  $F(n) = (n+2)! = (n+1)! * (n+2) = (n+1)! * (\frac{F(1)}{2} + (n - 1))$

  最后，我们将看到，F(1)的值为：

  $F(1) = 2*(n + 2) - 2*(n - 1) = 6$

• 问题3： T(n)= 4 * T(n / 2)+ n * log(n！)的时间复杂度是多少。
  1. θ(n *对数n)
  2. θ(n ² )
  3. θ(n ² *对数n)
  4. θ(n ² * log ² n)

  答： 4

  说明：我们知道log(n！)＆in; θ(n * log n) 。

  现在，等效的问题是分析新递归函数的顺序：

  $T(n) = 4 * T(\frac{n}{2}) + n^{2} * log(n)$

  我们可以通过母定理解决这个问题。为了在这里应用主定理，我们有f(n)= n ² * log(n) ，参数a (子问题的数量)， b (约简因子)和C等于4、2 ，和2；因此，θ(n ^{log _b a} )为θ(n ² )，属于相同的复杂度类别θ(n ^{C = 2} )；因此，给定的递归函数属于主定理的情况2。

  根据主定理，T(n)将具有以下顺序：

  $T(n) \in \theta(n^{2} * log^{2}n )$

• 问题4：哪一个可以最好地估计T(n)的复杂度?

  T(n)= $3^{log_{3}6}$ * T(N / 2)+ N ^2√N + 1。

  1. θ(n ² *＆Sqrt; n * log n)
  2. O(n ² *＆Sqrt; n + 1 * log n)
  3. θ( $n^{log_{2}6}$ )
  4. θ( $n^{log_{3}6}$ )
  5. O(n ² *＆Sqrt; n )。

  答： 3

  说明：我们知道$a^{log_{b}C} = C^{log_{b}a}$ ， 和$n^{2}*\sqrt(n+1) \in \theta (n^{2 + \frac{1}{2}}) \in \theta (n^{\frac{5}{2}})$ ;因此，我们可以简化递归函数，如下所示：

  $T(n) = 3^{log_{3}6} * T(\frac{n}{2}) + n * \sqrt(n+1) = 6* T(\frac{n}{2}) + \theta ( n^{\frac{5}{2}} )$

  它属于母定理的情况3;因此， T(n)的渐近复杂度为：

  $T(n) \in \theta ( n^{log_{2}6} )$

• 问题5：对于T(n)= T(n / 4)+ T(3n / 4)+ n，哪个渐近边界不正确?
  1. O(n ^{log _4/3 2} )
  2. ＆ohm;(n)
  3. O(n * log(n))
  4. 以上都不是

  答： 4

  说明：通过主定理，我们可以指定与前两个选项(A)和(B)中所示的边界相同的边界：

  1. $T(n) = T(\frac{n}{4}) + T(\frac{3n}{4}) + n \leq 2*T(\frac{3n}{4})+n \Rightarrow T(n) \in O (n^{ log_{4/3}2})$
  2. $T(n) = T(\frac{n}{4}) + T(\frac{3n}{4}) + n \geq 2*T(\frac{n}{4})+n \Rightarrow T(n) \in \Omega (n)$

  我们可以通过递归树方法找出第三种选择的正确性。我们画一棵树，我们很容易猜出T(n)的适当边界：

  

  递归树的分支长度不能小于h _r ，也不能大于h _L ；因此可以推断出以下估计：

  1. $T(n) \leq n * h_{r} = n * log_{\frac{4}{3}}n \Rightarrow T(n) \in O( n*log(n) )$
  2. $T(n) \geq n * h_{L} = n * log_{4}n \Rightarrow T(n) \in \Omega ( n*log(n) )$

  根据上述两个边界，我们还有T(n)＆in;。 θ(n * log(n)) 。

  我们知道如果T(n)＆in; O(n * log(n)) ，也必须是O(n ^{log _4/3 n} ) ;因此，如果我们首先评估了第三个选项，那么实际上我们也会推断出选项(A)的正确性。但是，递归树仅提供有关如何猜测适当边界的想法。由于有人可能会做出错误的猜测，因此此方法还需要验证或证明它不会违反所使用符号的定义。在考虑符号定义的同时，可以通过迭代替换为T(n)来归纳地获得该验证(证明)。