计算三元组(a，b，c)，以使a + b，b + c和a + c都可被K |整除。套装2

给定两个正整数N和K ，任务是计算三元组(a，b，c)的数量，以使0 和(a + b) ， (b + c)和(c + a)都是K的倍数。

例子：

Input: N = 2, K = 2
Output: 2
Explanation: All possible triplets that satisfy the given property are (1, 1, 1) and (2, 2, 2).
Therefore, the total count is 2.

Input: N = 3, K = 2
Output: 9

天真的方法：有关解决此问题的最简单方法，请参阅上一篇文章。
时间复杂度： O(N ³ )
辅助空间： O(1)

高效方法：还可以基于以下观察来优化上述方法：

• 给定条件由等式表示：

=> a + b ≡ b + c ≡ c + a ≡ 0(mod K)
=> a+b ≡ b+c (mod K)
=> a ≡ c(mod K)

• 不使用等式，也可以观察到上述关系：
  • 因为(a + b)是K的倍数，而(c + b)是K的倍数。因此， (a + b)−(c + b)= a – c也是K的倍数，即a≡b≡c(mod K) 。
  • 因此，可以将该表达式进一步评估为：

=> a + b ≡ 0 (mod K)
=> a + a ≡ 0 (mod K) (since a is congruent to b)
=> 2a ≡ 0 (mod K)

根据以上观察结果，可以计算出以下两种情况的结果：

• 如果K是奇数，则a b b c c 0(mod K)，因为所有这三个都是一致的，并且三元组的总数可以计算为(N / K) ³ 。
• 如果K为偶数，则K可被2除以a≡0(模K) ， b≡0(模K)和c≡0(模K) 。因此，三元组的总数可以计算为(N / K) ³ ((N +(K / 2))/ K) ³ 。

下面是上述方法的实现：

C++

// C++ program for the above approach
 
#include "bits/stdc++.h"
using namespace std;
 
// Function to count the number of
// triplets from the range [1, N - 1]
// having sum of all pairs divisible by K
int countTriplets(int N, int K)
{
    // If K is even
    if (K % 2 == 0) {
        long long int x = N / K;
        long long int y = (N + (K / 2)) / K;
 
        return x * x * x + y * y * y;
    }
 
    // Otherwise
    else {
        long long int x = N / K;
        return x * x * x;
    }
}
 
// Driver Code
int main()
{
    int N = 2, K = 2;
    cout << countTriplets(N, K);
 
    return 0;
}

Python3

# Python3 program for the above approach
 
# Function to count the number of
# triplets from the range [1, N - 1]
# having sum of all pairs divisible by K
def countTriplets(N, K):
 
    # If K is even
    if (K % 2 == 0):
        x = N // K
        y = (N + (K // 2)) // K
 
        return x * x * x + y * y * y
 
    # Otherwise
    else:
        x = N // K
        return x * x * x
 
# Driver Code
if __name__ == "__main__":
 
    N = 2
    K = 2
     
    print(countTriplets(N, K))
 
# This code is contributed by ukasp

输出：

2

时间复杂度： O(1)
辅助空间： O(1)