📜  图上的观察

📅  最后修改于: 2021-04-17 17:28:17             🧑  作者: Mango

是一种非线性数据结构,用于表示一组对象,其中连接了一些对象对。互连的对象由称为顶点的点表示,而连接这些顶点的线称为。顶点由V表示,边缘由E表示。也可以说图是一对集合(V,E) 。例如:

在上图中,顶点集V = {0,1,2,3}和边集E = {(0,1),(0,3),(1,2),(1,3 ),(2,3)}

对图形的一些观察是:

  • 在不考虑自环的情况下,N个顶点的无向图中的最大边数:由于每个节点都可以连接到所有其他节点,因此第一个节点可以连接到(N – 1)个节点。第二个节点可以连接到(N – 2)个节点,依此类推。所以,
  • 在不考虑自环的情况下,N个顶点的有向图中的最大边数:每个边都有其起始顶点和结束顶点。起始顶点有N个选择。由于没有自环,因此终止顶点有(N – 1)个选择。因此,通过将这些选择相乘来计算所有可能的选择。所以,
  • 具有自循环的N个顶点的图形中的最大边数:
  • 具有N个顶点的无向图的最小边数:由于图已连接,因此从每个顶点到每个其他顶点必须有唯一的路径,并且删除任何边都会使图断开连接。最小值是通过在上三角形的每一行中放置1来实现的。现在,如果邻接矩阵的尺寸为NxN ,则第一行在上三角形中具有(N – 1)个元素,第二行在上三角形中具有(N – 2)个元素,依此类推。最后一行在上三角形中有0个元素。也就是说,总共有(N – 1)行“带有一个上三角”,每行只有1个。所以,
  • 具有N个顶点和E个边的未加权图可能的邻接矩阵的数量:对于具有N个顶点的未加权图,可以将其表示为(NxN)矩阵(二维数组),每个值均为0 (表示非-边的存在)或1 (表示边的存在)。

现在,如果第一行有N个不同的选择,那么第二行有(N – 1)个选择(因为有关边1、2的信息是已知的),依此类推。因此,总的可能性是:

或者可以说等于N个元素的排列数目,即N!

  • 具有N个顶点和E个边的图的邻接列表的数量:与上面的解释类似。它等于边的排列数,即E!
  • 令G为其中所有顶点的至少为2的图。然后,G包含一个循环:假设G很简单,并且使P为最长路径,如(v 0 v 1 v 2 …v a-1 v a ) 。假设v a的阶数> 2 ,则如果v∉{v 0 ,…,v a-2 }v a必须与至少一个不等于(v a – 1)的顶点v相邻。那么它可以将路径P扩展到v。但是,P被选择为最大长度,因此这是不可能的,因此v∈{v 0 …,v a – 2 } 。因此,如果v = v i ,则v i + 1 ,…,v a, v i 是一个循环。
  • Cayley的公式: