给定集合的XOR查询

给定具有初始元素0的集合S，即S = {0}。任务是在给出Q个查询后执行每个查询，并在类型3的每个查询后打印答案。
我们可以执行三种类型的查询操作：

• 1 X：我们可以将X添加到集合S中。
• 2 Y：对于每个元素i，执行i⊕Y。
• 3：找到集合中的最小元素。

例子：

Input: Q = 10,
3
1 7
3
2 4
2 8
2 3
1 10
1 3
3
2 1
Output: 0 0 3

Explanation:
For the given 10 queries, the changes in the set for each query is as follows:

1. The minimum is 0.
2. The number 7 added to S –> {0, 7}.
3. The minimum is still 0.
4. All of the numbers in S are changed to their xor with 4 –> {4, 3}.
5. All of the numbers in S are changed to their xor with 8 –> {12, 11}.
6. All of the numbers in S are changed to their xor with 3 –> {15, 8}.
7. The number 10 added to S –> {15, 8 ,10}.
8. The number 3 added to S –> {15, 8, 10, 3}.
9. The minimum is now 3.
10. All of the numbers in S are changed to their xor with 1 –> {14, 9, 11, 2}.

Input: Q = 6
3
1 7
3
1 4
2 8
3
Output: 0 0 8

先决条件：特里。

方法：

我们将尝试使用最小XOR值对问题的trie方法来解决此问题。

• 因此，在这个问题中，我们有一个二进制trie和一个整数x，我们必须找到XOR(x，y)的最小值，其中y是trie中的某个整数。
• 现在，要解决此问题，我们将从最高有效位到最低位进行尝试。
• 假设我们处于第i位：
  如果x [i]为1，我们将沿着具有1的trie的路径前进。
  如果x [i]为0，我们将沿着具有0的路径前进。
  如果在位置i处，我们没有分支要沿着x [i]下降，那么我们将走另一条路。

现在，解决我们的问题。

• 假设我们在集合中插入了a1，a2，a3，然后对所有与x1，x2，x3进行异或运算，那么它与X = XOR(x1，x2，x3)的异或运算相同。
• 因此，找到最小值元素等于在与X进行异或后找到(a1，a2，a3)中的最小值。
  我们已经注意到一开始该如何做。
• 现在，如何回答每个查询。
  令x = XOR(x1，x2，…..，xn)，其中x1，x2，…，xn是与集合S的元素进行XOR运算的所有数字。
  1. 对于查询2 ，与xi进行XOR。
     我们不会将trie中的每个元素与xi进行XOR。相反，我们将只更新x = XOR(x，xi)
  2. 对于查询3 ，获取最小元素。
     到目前为止，我们应该已经使用X对整个数组进行了XOR运算。
     因此，现在我们将使用上述方法，通过对集合中所有元素与X进行XOR运算来计算最小值。
  3. 对于查询1 ，插入ai。
     我们不会将ai插入到trie中，而是将XOR(ai，x)插入。原因：
     • 假设我们插入a1，a2，然后与x1进行异或，然后插入a3，然后与x2进行异或。
     • 当我们现在查询最小值时，我们将在以下位置找到最小值：{XOR(a1，x1，x2)，XOR(a2，x1，x2)，XOR(a3，x1，x2)}
       但是a3只能与x2进行异或运算，而不能与x1进行异或。
     • 因此，至关重要的是，在每时每刻将元素ai插入到trie中时，我们都要插入XOR(ai，x)。这样可以确保当我们计算最小值时，它将抵消先前的XOR。
       因此，在我们的示例中，我们的特里将包含
       {a1，a2，XOR(a3，x1)}。
     • 当查询XOR(x)的最小值时，将使用上述方法{XOR(a1，x1，x2)，XOR(a2，x1，x2)，XOR(a3，x2)}找到最小值，这就是我们想要的。插入XOR(ai，x)将确保无论我们执行的是哪种最小操作，我们都不会在任何ai上进行任何不必要的XOR。

以下是此方法的C++实现：

// C++ program to operate 
// queries in a given set
#include 
using namespace std;
  
const int Maxbits = 30;
  
// Function for Query 1
void Insert(int x, int curx, 
            int* sz, int trie[100][2])
{
    // XOR each element before
    // storing it in the trie.
    x = x ^ curx;
    int p = 0;
  
    // Storing xored element in the trie.
    for (int i = Maxbits - 1; i >= 0; i--)
    {
        if (!trie[p][x >> i & 1])
            trie[p][x >> i & 1] = (*sz)++;
  
        p = trie[p][x >> i & 1];
    }
}
  
// Function for Query 2
void XorQuery(int x, int* curx)
{
    // Simply xor-ing all the number which
    // was asked to xor with the set elements.
    (*curx) = (*curx) ^ x;
}
  
// Function for Query 3
void MinXor(int x, int trie[100][2])
{
    int ans = 0, p = 0;
  
    // Finding the minimum element by checking 
    // if x[i] bit is same with trie element.
    for (int i = Maxbits - 1; i >= 0; i--) 
    {
        bool Currbit = (x >> i & 1);
  
        if (trie[p][Currbit])
            p = trie[p][Currbit];
  
        else {
            p = trie[p][!Currbit];
            ans |= 1 << i;
        }
    }
  
    cout << ans << endl;
}
  
// Driver code
int main()
{
    int sz = 1;
    int curx = 0;
    int trie[100][2] = { 0 };
  
    // Initialising the trie
    Insert(0, 0, &sz, trie);
  
    // Calling the Query
    MinXor(curx, trie);
    Insert(7, curx, &sz, trie);
    MinXor(curx, trie);
    XorQuery(4, &curx);
    XorQuery(8, &curx);
    XorQuery(3, &curx);
    Insert(10, curx, &sz, trie);
    Insert(3, curx, &sz, trie);
    MinXor(curx, trie);
    XorQuery(1, &curx);
  
    return 0;
}

输出：

0
0
3