📜  关于树的一些基本定理

📅  最后修改于: 2021-04-17 12:08:18             🧑  作者: Mango

树:-没有任何电路的连接图称为树。换句话说,树是满足以下任何等效条件的无向图G:

  • G中的任意两个顶点可以通过唯一的简单路径连接。
  • G是非循环的,如果将任何边添加到G,就会形成一个简单的循环。
  • G已连接并且没有周期。
  • G已连接,但是如果从G移除任何一条边,它将断开连接。
  • G已连接,并且3个顶点完成图K3不是G的小数。

例如

  • 该图是一棵树:
  • 该图不是树:

与树有关的一些定理是:

  • 定理1 :证明对于树(T),树中每对顶点之间只有一条路径。

    证明:由于树(T)是连通图,因此树(T)中的每对顶点之间至少存在一条路径。现在,假设树(T)的两个顶点a和b之间存在两条路径。这两个路径的并集将包含一个电路,并且树(T)不能是树。因此,以上陈述得到证明。

    图3:树(T)

  • 定理2:如果在图G中每对顶点之间只有一条路径,那么图G就是一棵树。

    证明:每对顶点之间都存在一条路径,因此我们假设图G是连通的。图中的电路表示至少有一对顶点a和b,因此a和b之间有两条不同的路径。由于G在每对顶点之间只有一条路径。 G不能有任何电路。因此,图G是一棵树。

    图4:给定图G

  • 定理3:证明具有n个顶点的树具有(n-1)个边。

    证明:设n为树(T)中的顶点数。
    如果n = 1,则边数= 0。
    如果n = 2,则边数= 1。
    如果n = 3,则边数= 2。

    因此,对于n = 1、2、3,该语句(或结果)为true。

    令对于n = m的陈述为真。现在我们要证明对于n = m + 1是正确的。

    e是连接顶点的边,说Vi和Vj。由于G是一棵树,因此在顶点Vi和Vj之间仅存在一条路径。因此,如果我们删除边e,它将被断开连接成两个分量G1和G2。这些分量具有少于m + 1个顶点,并且没有电路,因此每个分量G1和G2都有m1和m2顶点。

    Now, the total no. of edges = (m1-1) + (m2-1) +1
                                = (m1+m2)-1
                                = m+1-1
                                = m.
    

    因此,对于n = m + 1个顶点,在树(T)中有m个边。通过数学归纳法,该图恰好具有n-1个边。

    图5:给定树T

  • 定理4:证明任何具有n个顶点和(n-1)个边的连通图G是一棵树。

    证明:我们知道制作n个顶点的图所需的最小边数为(n-1)个边。我们可以观察到从图形G中删除一条边将使其断开。因此,n个顶点和(n-1)个边的连接图不能有电路。因此,图G是树。

    图6:图G

  • 定理5:证明具有n个顶点, (n-1)个边且没有电路的图是连通图。

    证明:让图G断开,然后至少存在两个分量G1和G2。每个组件都是无电路的,而G是无电路的。现在,要使图G连通,我们需要在顶点Vi和Vj之间添加一个边e,其中Vi是G1的顶点,Vj是分量G2的顶点。
    现在,G中的边数=(n – 1)+1 = n。

    图7:断开的图

    现在,G是具有n个顶点和n条边的无图连接图和无电路,这是不可能的,因为所连接的无电路图是一棵树,而具有n个顶点的树具有(n-1)条边。因此,连接了具有n个顶点, (n-1)个边且没有电路的图G。因此,证明了给定的陈述。

    图8:连通图G

  • 定理6:当且仅当图G最小连接时,图G就是树。

    证明:让图G最小连接,即;去除一侧边缘使其断开连接。因此,没有电路。因此,图G是一棵树。
    相反,让图G是一棵树,即;每对顶点之间只有一条路径,并且我们知道从路径中移除一条边会使图断开。因此,图G的连接最少。

    图9:最小连接图

  • 定理7:每棵至少有两个顶点的树都有至少两个垂点。

    证明:设给定树T的顶点数为n,n> = 2。因此,使用上述定理,树中的边数T = n-1。

    summation of (deg(Vi)) = 2*e
                           = 2*(n-1)
                           =2n-2
    

    程度和将在n个顶点之间分配。由于树T是一个连通图,因此它的顶点不能为零。每个顶点对上述总和至少贡献一个。因此,至少必须有两个度数为1的顶点。因此,每棵至少有两个顶点的树都至少有两个悬垂顶点。

    图10:这里的a,b和d是给定图的下垂顶点

  • 定理8:证明每棵树都有一个或两个中心。

    证明:我们将使用一种观察结果,即只有当w是悬垂顶点时,才会出现从给定顶点v到任何其他顶点w的最大距离max d(v,w)。

    现在,让T是具有n个顶点的树(n> = 2)

    T必须至少有两个悬垂顶点。从T删除所有垂线顶点,然后得到的图T’仍然是一棵树。再次从T’删除悬垂顶点,以使生成的T“仍然是具有相同中心的树。

    请注意,以T为中心的所有顶点仍将保持在T’–> T” –> T”’–>…中的中心。

    继续此过程,直到剩下的树具有一个顶点或一个边。因此,最后,如果有一个顶点,则意味着树T具有一个中心。如果有一条边,那么树T有两个中心。

  • 定理9:证明二叉树中“ L”级的最大顶点数为2^L ,其中L> = 0。

    证明:在数学归纳法的帮助下证明了给定的定理。在级别0(L = 0)处,只有一个顶点在级别(L = 1),仅存在一个顶点2^1顶点。

    现在我们假设该语句对于级别(L-1)是正确的。

    因此,级别(L-1)上的最大顶点数量为2^L-1 。由于我们知道二叉树中的每个顶点在下一级别中最多包含2个顶点,因此级别L上的顶点数量是级别L-1的两倍。

    因此,在级别L处,顶点的数量为:

    2^1 * 2^(L-1) = 2^L