门|门 CS 1996 | 问题 26

这道题目是一个经典问答机制的算法问题，它通常被用作数据结构和算法的练习题。正确理解题目并以正确方式编写出代码解决问题，将有助于加深你的编程和算法知识。

问题描述

有一排相邻的 N 扇门（标号为 1~N），每扇门均可以选择打开或关闭。现在有 M 个人，每个人都会走过这排门（从第一扇门走到第 N 扇门），并且每个人都有一个门的集合，表示他可以通过哪些门，为 1 表示可以通过，0 表示不可以通过。当一位人经过一扇门时，他会尝试将它打开。如果门已经被打开，那么他会保持这扇门的状态并向下继续走；如果门没有被打开，那么他会对这扇门进行锁定（即打开它），并向下继续走。当这个人走完所有的门时，他会逆序传回，再次经过这排门，并将他遇到的所有门状态恢复到原来的状态。

现在我们想知道，最少需要多少个人才能保证所有的门都被打开了，并且在每个人经过之后，所有的门都可以恢复到原来的状态。

输入格式

第一行两个整数 N 和 M，表示门数量和人数。

接下来 M 行，每行两个整数 k 和 s，表示这个人可以通过的门的数量和他所能通过的门的编号。

输出格式

一个整数，表示最少需要多少个人才能保证所有的门都被打开了，并且在每个人经过之后，所有的门都可以恢复到原来的状态。

输入样例

5 5
2 1 2
2 2 3
2 3 4
2 4 5
2 1 5

输出样例

2

解题思路

首先，我们可以发现，我们需要找到一种能够覆盖所有门的集合，使得每个人至少包含其中一门门的集合。并且，我们需要找到一种能够保证，所有人经过之后，所有门都可以回到原来的状态。

根据上述分析，我们可以使用贪心算法来解决这个问题。首先，我们需要对每个门求一个掩码（mask），假设一共有 10 扇门（从 0 到 9），那么门 0 的掩码为 1 << 0，门 1 的掩码为 1 << 1，以此类推。接下来，我们从第一扇门开始枚举，对于每扇门，我们求出它的掩码并记为 mask，接着对于每个人，将他可以通过的门与 mask 进行按位与操作，并将结果累加起来，得到集合 S。如果所有门均被表示在集合 S 中，则可以认为这个人可以覆盖到该门。

接下来，我们可以使用一个 hash 表，将所有能覆盖到某门的人的编号存储下来。对于每扇门，我们枚举所有覆盖到该门的人，并将他们的编号存入集合中。最后，我们需要找到能够覆盖所有门的最小的一组人。考虑使用集合覆盖算法即可。

参考代码

# 门|门 CS 1996 | 问题 26
# https://www.acwing.com/problem/content/1998/
# 思路：使用贪心算法，依次遍历每扇门，找到能够覆盖该门的人，在所有能够覆盖所有门的人中选择最小的一个。
from typing import List


def door_cover(n: int, m: int, doors: List[List[int]]) -> int:
    # 求掩码
    mask = [1 << i for i in range(n)]

    # 构建 hash 表，key 为门编号，value 为能够覆盖该门的人的编号
    doors_hash = {}
    for i in range(n):
        doors_hash[i] = set()
    for i in range(m):
        k, s = doors[i]
        for j in s:
            doors_hash[j-1].add(i)

    # 贪心算法，依次遍历每扇门，并将能够覆盖该门的人的编号存入集合中
    persons_cover = set(range(m))
    doors_cover = set(range(n))
    for i in range(n):
        persons_cover_temp = set()
        for j in doors_hash[i]:
            if len(persons_cover & {j}) > 0:
                persons_cover_temp.add(j)
        doors_cover &= set([mask[i] | sum([mask[i] & doors[i][1] for i in doors_cover & persons_cover_temp])])
    if len(doors_cover) == 0:
        return -1

    # 集合覆盖算法，用来寻找覆盖所有门的最小的一组人
    persons = set()
    while len(doors_cover) > 0:
        cnt = -1
        key = -1
        for k, v in doors_hash.items():
            if len(v & persons_cover) > cnt:
                cnt = len(v & persons_cover)
                key = k
        if cnt == 0:
            return -1
        doors_cover -= set([key])
        persons_cover &= doors_hash[key]
        persons |= persons_cover
    return len(persons)