📅 最后修改于: 2023-12-03 15:27:23.227000 🧑 作者: Mango
本教程为RD Sharma数学教材第12章数学归纳的练习12.2的解决方案。练习内容主要涉及数学归纳法证明题以及一些计算题。
在本教程中，你将会学习到使用数学归纳法进行数学证明的方法。
练习12.2主要分为两部分：数学归纳法证明题和计算题。其中数学归纳法证明题是最为重要的，因为它涉及到了使用数学归纳法进行证明的方法。下面是练习12.2的具体内容：
证明：$1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$，其中n是正整数。
证明：$1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$，其中n是正整数。
证明：$1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=[1+2+\cdots+n]^2$，其中n是正整数。
计算：$1+4+9+16+\cdots+400$
计算：$1^2+3^2+5^2+\cdots+99^2$
证明：$1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$，其中n是正整数。
解：
这道题目可以使用数学归纳法来证明。我们需要三个步骤来完成证明。
第一步：证明当$n=1$时等式成立。
当$n=1$时，$1=1^2$，等式成立。
第二步：证明当$n=k$时等式成立的情况下，$n=k+1$时等式也成立。
假设当$n=k$时，等式成立，即：
$$1+3+5+\cdots+(2k-1)=k^2$$
那么当$n=k+1$时，左边的等式为：
$$1+3+5+\cdots+(2k-1)+(2(k+1)-1)$$
$$=k^2+(2(k+1)-1)$$
$$=k^2+2k+1$$
$$=(k+1)^2$$
所以当$n=k+1$时，等式也成立。
第三步：根据数学归纳法原理，我们可以证明该等式对于所有正整数都成立。
因此，$1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$对于所有正整数n成立。
证明：$1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$，其中n是正整数。
解：
这道题目还是使用数学归纳法。
第一步：证明当$n=1$时等式成立。
当$n=1$时，左边的等式为$1^2=1$，右边的等式为$\dfrac{1×(1+1)×(2×1+1)}{6}=\dfrac{1×2×3}{6}=1$，等式成立。
第二步：证明当$n=k$时等式成立的情况下，$n=k+1$时等式也成立。
假设当$n=k$时，等式成立，即：
$$1^2+2^2+3^2+\cdots+k^2=\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}$$
那么当$n=k+1$时，等式为：
$$1^2+2^2+3^2+\cdots+k^2+(k+1)^2$$
$$=\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2$$
$$=\dfrac{2k^3+9k^2+13k+6}{6}$$
$$=\dfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$$
因此当$n=k+1$时，等式也成立。
第三步：根据数学归纳法原理，我们可以证明该等式对于所有正整数都成立。
因此，$1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$对于所有正整数n成立。
证明：$1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=[1+2+\cdots+n]^2$，其中n是正整数。
解：
同样使用数学归纳法。
第一步：证明当$n=1$时等式成立。
当$n=1$时，左边的等式为$1^3=1$，右边的等式为$(1)^2=1$，等式成立。
第二步：证明当$n=k$时等式成立的情况下，$n=k+1$时等式也成立。
假设当$n=k$时，等式成立，即：
$$1^3+2^3+3^3+\cdots+k^3=[1+2+\cdots+k]^2$$
那么当$n=k+1$时，左边的等式为：
$$1^3+2^3+3^3+\cdots+k^3+(k+1)^3$$
$$=[1+2+\cdots+k]^2+(k+1)^3$$
$$=[\dfrac{k(k+1)}{2}]^2+(k+1)^3$$
$$=\dfrac{k^4+4k^3+6k^2+4k+4k^3+12k^2+12k+4}{4}$$
$$=\left[\dfrac{(k+1)k}{2}\right]^2$$
因此，当$n=k+1$时，等式也成立。
第三步：根据数学归纳法原理，我们可以证明该等式对于所有正整数都成立。
因此，$1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=[1+2+\cdots+n]^2$对于所有正整数n成立。
计算：$1+4+9+16+\cdots+400$
解：
我们可以使用等差数列的求和公式来解答这道题。
设该等差数列的首项为$a$，公差为$d$，项数为$n$。则该等差数列的和为：
$$S=\dfrac{n(2a+(n-1)d)}{2}$$
对于该等差数列，$a=1$，$d=3$，并且最后一项（即第n项）为400，则有：
$$400=1+3(k-1)$$
解得$k=134$，因此有$n=134$。
代入公式可得：
$$S=\dfrac{134(2×1+(134-1)×3)}{2}=8710$$
因此，$1+4+9+16+\cdots+400=8710$。
计算：$1^2+3^2+5^2+\cdots+99^2$
解：
同样可以使用等差数列的求和公式来解答这道题。
设该等差数列的首项为$a$，公差为$d$，项数为$n$。则该等差数列的和为：
$$S=\dfrac{n(2a+(n-1)d)}{2}$$
对于该等差数列，$a=1$，$d=2$，并且最后一项（即第n项）为99，则有：
$$99=1+2(k-1)$$
解得$k=50$，因此有$n=50$。
代入公式可得：
$$S=\dfrac{50(2×1+(50-1)×2)}{2}=3383$$
因此，$1^2+3^2+5^2+\cdots+99^2=3383$。
以上就是练习12.2的解决方案，希望能对你的数学学习有所帮助。数学归纳法证明题虽然有一定难度，但是只要掌握好方法，就可以轻松解决。计算题则需要灵活使用数学公式以及一些技巧来解答。