利用斐波那契数列求解仅删除一个元素形成的最长子数组长度

问题描述

给定一个整数数组，寻找其中一个数进行删除，使得剩余数字中的子数组成为斐波那契数列，求可形成的最长子数组长度。

解决思路

本题可以采用两种思路来解决，分别是穷举法和动态规划法。

穷举法

穷举法是最直接的思路。我们可以枚举要删除的数，然后对剩余数组进行验证，是否有一段子数组是斐波那契数列。对于每个被删除的数，找到可以形成的最长斐波那契子数组的长度，最后取其中的最大值作为我们要求的结果。

具体实现细节见下方的代码片段：

def is_fibonacci_series(A):
    if len(A) < 3:
        return False
    for i in range(2, len(A)):
        if A[i] != A[i-1] + A[i-2]:
            return False
    return True

def max_fibonacci_subarray(A):
    max_length = 0
    for i in range(len(A)):
        B = A[:i] + A[i+1:]
        for j in range(len(B)-2):
            for k in range(j+2, len(B)):
                if is_fibonacci_series(B[j:k]):
                    max_length = max(max_length, k-j)
    return max_length

动态规划法

动态规划法通过寻找子问题之间的相互依赖关系来解决问题。我们可以设 $dp_{i,j}$ 表示删除 $i$ 和 $j$ 两个数后可形成的最长斐波那契子数组长度，而最终的结果就是所有 $dp_{i,j}$ 中的最大值。

具体实现细节见下方的代码片段：

def max_fibonacci_subarray(A):
    dp = [[2 for j in range(i)] for i in range(3, len(A)+1)]
    max_length = 0
    for j in range(len(A)-2):
        for i in range(j):
            if A[i] + A[j] in A:
                dp[j-2][i] = 3
                max_length = max(max_length, 3)
            else:
                continue
            for k in range(i, j-2):
                if A[k] + A[j] == A[i]:
                    dp[j-2][i] = dp[j-3][k-2] + 1
                    max_length = max(max_length, dp[j-2][i])
    return max_length

性能分析

• 穷举法的时间复杂度为 $O(n^3)$，空间复杂度为 $O(n)$；
• 动态规划法的时间复杂度为 $O(n^2)$，空间复杂度为 $O(n^2)$；

算法总结

本题可以采用两种思路来解决，穷举法和动态规划法。两种方法的时间复杂度都是二次的，但是动态规划法的空间复杂度更高。如果时间复杂度不是很敏感的话，我们推荐采用动态规划法，因为其实现更加简洁，易于理解。