条件和双条件语句

条件陈述

令p和q是两个语句，则“ if p then q”是一个复合语句，用p→q表示，并称为条件语句或蕴涵。蕴含p→q仅在p为真且q为假时为假。否则，总是如此。在这种情况下，p称为假设(或前提)，而q称为结论(或结论)。

例如：以下是条件语句。

• 如果a = b和b = c，则a = c。
• 如果我有钱，那我将购买一台计算机。

条件语句的变化

相反：命题〜q→〜p被称为p→q的对立。

逆：命题q→p称为p→q的逆。

逆：命题〜p→〜q被称为p→q的逆。

示例1：证明p→q及其对立的〜q→〜p在逻辑上是等价的。

解决方案：构造两个命题的真值表：

因为，在两种情况下的值都相同，因此两个命题是等效的。

例2：证明命题q→p和〜p→〜q不等于p→q。

解决方案：为以上所有命题构建真值表：

这样，表中的p→q的值不等于图6中的q→p和〜p→〜q。因此，它们都不等于p→q，但是它们在逻辑上是等效的。

双条件陈述

如果p和q是两个语句，则“ p当且仅当q时”是一个复合语句，表示为p↔q并称为双条件语句或等价语句。仅当p和q均为真或p和q均为假时，等价p p q才为真。

例如： (i)当且仅当两条直线具有相同的斜率时，两条直线平行。
(ii)且只有在您努力工作的情况下，您才能通过考试。

示例：证明p↔q等于(p→q)∧(q→p)。

解决方案：构造两个命题的真值表：

由于真值表是相同的，因此它们在逻辑上是等效的。因此证明。

对偶原理

如果两个公式A ₁和A ₂可以通过将∧(AND)替换为∨(AND)来替换∧(AND)，则可以彼此求对，则称它们彼此对偶。同样，如果公式包含T(真)或F(假)，则我们用F替换T，用T替换F，以获得对偶。

注1：两个连接词∧和∨相互称为对偶。 2.像AND和OR一样，↑(NAND)和↓(NOR)彼此对偶。 3.如果该命题的任何公式有效，则它们是对偶的。

命题的等价

如果两个命题在所有情况下都具有完全相同的真值，则称它们在逻辑上是等价的。

table1包含基本的逻辑等效表达式：

命题代数定律

示例：考虑以下命题

  ~p∨∼q and ∼(p∧q).

它们相等吗?

解决方案：为两个表构造真值表