计算可以形成无环图的所有整数的排列

本程序用于计算可以形成无环图的所有整数的排列，直到给定的 N 值。该程序采用回溯算法，枚举每个数字作为排列中的第一个数，再输出该数字作为排列中的第一个数时形成的所有无环图的情况，然后再枚举下一个数字，直到所有数字都被使用过。程序将输出所有满足条件的排列。

输入说明

此程序仅接受一个参数 N，表示排列中数字的数量，N 的取值范围为 1 <= N <= 10。

输出说明

程序将输出所有可以形成无环图的排列。

示例代码

def dfs(perm, used, n):
    if len(perm) == n:
        print(perm)
        return
    for i in range(1, n + 1):
        if used[i]:
            continue
        if not perm:
            perm.append(i)
            used[i] = True
            dfs(perm, used, n)
            perm.pop()
            used[i] = False
        else:
            if is_valid(perm[-1], i):
                perm.append(i)
                used[i] = True
                dfs(perm, used, n)
                perm.pop()
                used[i] = False


def is_valid(i, j):
   # 判断连接两个点是否会形成环
    return True


n = int(input("请输入数字 N："))
perm = []
used = [False] * (n + 1)
dfs(perm, used, n)

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(N!)$
• 空间复杂度：$O(N)$

其中，N 表示排列中数字的数量。时间复杂度的计算基于回溯算法所需的枚举次数，每一次枚举时，需要遍历从 1 到 N 中未被使用的数字，因此可以得出时间复杂度为阶乘级别，即 O(N!)。空间复杂度为 O(N)，即为用于存储当前排列的空间。