软件工程 |准更新流程

令 {N(t), t > 0} 为计数过程，令 $X_n$ 是之间的时间 $(n-1)_{th}$ 和 $n_{th}$ 这个过程的事件， $n\geq 1$ .

定义：
如果非负随机变量序列 {X1, X2, ....} 是独立的并且

$X_i=aX_{i-1}$

为了 $i\geq 2$ 在哪里 $\alpha > 0$ 是一个常数，那么计数过程 {N(t), t $\geq$ 0} 称为准更新过程，有参数和第一次到达间隔时间 $X_1$ .

什么时候 $\alpha$ = 1，这个过程就变成了普通的更新过程。这种准更新过程可用于模拟软件测试阶段和硬件老化阶段的可靠性增长过程 $\alpha$ > 1、在硬件维护过程中的时候 $\alpha \geq$ 1.

与准更新过程相关的重要公式：
假设随机变量的概率密度函数、累积分布函数、生存函数和失效率 $X_1\: are\: f_1(x), F_1(x), s_1(x), and\: r_1(x)$ ，分别。然后，

对于 n = 1, 2, 3, ...，Xn 的 pdf（概率密度函数）为
$f_n(x)= \frac{1}{\alpha^{n-1}}f_1\left (\frac{1}{\alpha^{n-1}}x\right )$
对于 n = 1, 2, 3, ...，Xn 的 cdf（累积密度函数）为
$F_n(x)= F_1\left (\frac{1}{\alpha^{n-1}}x\right )$
对于 n = 1, 2, 3, ...，Xn 的生存函数是
$S_n(x)= S_1\left (\frac{1}{\alpha^{n-1}}x\right )$
n = 1, 2, 3, … 时 Xn 的失效率为
$f_n(x)= \frac{1}{\alpha^{n-1}}r_1\left (\frac{1}{\alpha^{n-1}}x\right )$

同样，Xn 的均值和方差为

$E(X_n)=\alpha^{n-1}E(X_1)$$ $$ Var(X_n)=\alpha^{2n-2}Var(X_1)$

因为非消极性 $X_1$ 并且事实上 $X_1$ 不等于 0，我们得到

$E(X_1)=\mu \neq 0$

命题一：
形状参数 $X_n$ 对于 n = 1, 2, 3, ... 对于准更新过程，如果 $X_1$ 遵循 gamma、Weibull 或对数正态分布。这意味着“更新”后，到达间隔时间的形状参数不会改变。在软件可靠性方面，软件调试过程不改变无错误分布类型的假设似乎是合理的。

因此，在由准更新过程建模的调试阶段，软件的无错误时间将具有相同的形状参数。从这个意义上说，准更新过程适合模拟软件可靠性增长。值得注意的是，

$\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{E(X_1+X_2+ ... +X_n)}{n}&= \lim_{n \rightarrow \infty }\frac{\mu_{1}(1-\alpha^n)}{(1-\alpha)n} $$ $$=\; 0 if\; \alpha\: \: 1$

因此，如果将到达间隔时间表示一个软件系统的无错误时间，那么当它的调试过程发生较长的调试时间时，平均无错误时间接近无穷大。

命题 2：
准更新过程的第一次到达间隔分布唯一地决定了它的更新函数。如果到达间隔时间代表无错误时间（第一次故障的时间），则可以使用准更新过程来模拟软件和硬件的可靠性增长。

假设软件的所有故障都有相同的机会被检测到。如果一个准更新过程的到达间隔时间代表一个软件系统的无差错时间，那么在时间区间[0, t]内的预期软件故障数可以定义为更新函数，m(t ), 带参数 $\alpha > 1$ .表示为 $m_r(t)$ ，在时间 t 的剩余软件故障数，因此，

在哪里 $m(T_c)$ 是最终将通过软件生命周期 Tc 检测到的故障数。