令$ f：S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $和S为$ \ mathbb {R} ^ n $中的非空凸集，则对于S中的任何$ x_1，x_2 \ f，f都是强拟凸函数$与$ \ left(x_1 \ right)\ neq \ left(x_2 \ right)$，我们有$ f \ left(\ lambda x_1 + \ left(1- \ lambda \ right)x_2 \ right)

定理

$ \ mathbb {R} ^ n $中非空凸集S上的拟凸函数$ f：S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $如果不是在连接任何线段的线段上不是常数，则为强拟凸函数S点

证明

令f是拟凸函数，并且在连接S的任何点的线段上不是恒定的。

假设f不是强拟凸函数。

在S $中存在$ x_1，x_2 \，其中有$ x_1 \ neq x_2 $这样

$$ f \ left(z \ right)\ geq max \ left \ {f \ left(x_1 \ right)，f \ left(x_2 \ right)\ right \}，\ forall z = \ lambda x_1 + \ left(1 -\ lambda \ right)x_2，\ lambda \ in \ left(0,1 \ right)$$

$ \ Rightarrow f \ left(x_1 \ right)\ leq f \ left(z \ right)$和$ f \ left(x_2 \ right)\ leq f \ left(z \ right)$

由于f在$ \ left [x_1，z \ right] $和$ \ left [z，x_2 \ right] $中不是恒定的

因此存在$ u \ in \ left [x_1，z \ right] $和$ v = \ left [z，x_2 \ right] $

$$ \ Rightarrow u = \ mu_1x_1 + \ left(1- \ mu_1 \ right)z，v = \ mu_2z + \ left(1- \ mu_2 \ right)x_2 $$

由于f是拟凸的

$$ \ Rightarrow f \ left(u \ right)\ leq max \ left \ {f \ left(x_1 \ right)，f \ left(z \ right)\ right \} = f \ left(z \ right)\ ：\：和\：\：f \ left(v \ right)\ leq max \ left \ {f \ left(z \ right)，f \ left(x_2 \ right)\ right \} $$

$$ \ Rightarrow f \ left(u \ right)\ leq f \ left(z \ right)\：\：和\：\：f \ left(v \ right)\ leq f \ left(z \ right)$ $

$$ \ Rightarrow max \ left \ {f \ left(u \ right)，f \ left(v \ right)\ right \} \ leq f \ left(z \ right)$$

但是z是u和v之间的任意点，如果它们中的任何一个相等，则f是常数。

因此，$ max \ left \ {f \ left(u \ right)，f \ left(v \ right)\ right \} \ leq f \ left(z \ right)$

这与f的准凸性在\ left [u，v \ right] $中相反。

因此，f是强拟凸函数。

定理

令$ f：S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $和S为$ \ mathbb {R} ^ n $中的非空凸集。如果$ \ hat {x} $是局部最优解，则$ \ hat {x} $是唯一的全局最优解。

证明

由于强拟凸函数也是严格拟凸函数，因此局部最优解是全局最优解。

唯一性-令f在两点获得全局最优解$ u，v \ in S $

$$ \ Rightarrow f \ left(u \ right)\ leq f \ left(x \ right)。\ forall x \ in S \：\：和\：\：f \ left(v \ right)\ leq f \左(x \ right)。\ forall x \ in S $$

如果u是全局最优解，则$ f \ left(u \ right)\ leq f \ left(v \ right)$和$ f \ left(v \ right)\ leq f \ left(u \ right)\ Rightarrow f \ left(u \ right)= f \ left(v \ right)$

$$ f \ left(\ lambda u + \ left(1- \ lambda \ right)v \ right)

这是一个矛盾。

因此，仅存在一个全局最优解。

备注

• 强拟凸函数也是严格拟凸函数。
• 严格凸函数可以是也可以不是强拟凸。
• 可微的严格凸是强拟凸。