使用 Floyd Warshall 算法寻找任意两个节点之间的最短路径

什么是 Floyd Warshall 算法

Floyd Warshall 算法，也称为 插点法，是一种用于寻找给定加权图中所有节点对之间最短路径的算法。它的时间复杂度为 $O(n^3)$。Floyd Warshall 算法是在 1959 年由 Robert Floyd 和 Stephen Warshall 共同提出的。

算法描述

Floyd Warshall 算法采用动态规划的思想，具体的算法描述如下：

1. 初始化距离数组 $d$，用于记录任意两点之间的最短距离，初始时 $d_{i,j}$ 表示节点 $i$ 到 $j$ 的距离，若两点之间没有边连接，则 $d_{i,j} = \infty$。

2. 三重循环遍历任意两点之间的距离，更新距离数组 $d$。具体公式如下：

   $d_{i,j} = \min(d_{i,j}, d_{i,k} + d_{k,j})$

   其中 $k$ 表示从 $i$ 到 $k$ 再到 $j$ 的路径，如果这条路径的长度小于 $i$ 到 $j$ 的路径长度，则更新 $d_{i,j}$ 的值为 $i$ 到 $k$ 的路径长度加上 $k$ 到 $j$ 的路径长度。

3. 最后，距离数组 $d$ 中存储的就是任意两点之间的最短距离。

算法实现

下面给出使用 Python 语言实现 Floyd Warshall 算法的代码示例：

def floyd_warshall(graph):
    # 初始化距离数组
    n = len(graph)
    d = [[float('inf')] * n for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        d[i][i] = 0
        for j in range(n):
            if j in graph[i]:
                d[i][j] = graph[i][j]
    
    # 三重循环更新距离数组
    for k in range(n):
        for i in range(n):
            for j in range(n):
                d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j])
    
    return d

其中，参数 graph 是一个字典，表示图的邻接矩阵。例如，对于一张有向图，可以使用如下的方式来表示：

graph = {
    0: {1: 1, 2: 4},
    1: {3: 2},
    2: {3: 3},
    3: {}
}

这个字典表示一张四个节点的图，其中 0 号节点向 1 号节点和 2 号节点连边，权值分别为 1 和 4；1 号节点向 3 号节点连边，权值为 2；2 号节点向 3 号节点连边，权值为 3；3 号节点没有出边。

使用上述代码求解这张图的任意两点之间的最短距离，可以得到如下结果：

>>> floyd_warshall(graph)
[[0, 1, 4, 3], [inf, 0, inf, 2], [inf, inf, 0, 3], [inf, inf, inf, 0]]

其中，第 $i$ 行第 $j$ 列的元素表示节点 $i$ 到节点 $j$ 的最短距离。

算法应用

Floyd Warshall 算法可以用于在一个带权有向图中计算任意两个节点之间的最短路径。在网络路由算法和图像处理等领域，Floyd Warshall 算法也有广泛的应用。