科赫曲线或科赫雪花

什么是科赫曲线？

科赫雪花（也称为科赫曲线、科赫星或科赫岛）是一种数学曲线，也是最早被描述的分形曲线之一。它基于 Koch 曲线，该曲线出现在 1904 年瑞典数学家 Helge von Koch 题为“在没有切线的连续曲线上，可从初等几何构造”的论文中。

雪花面积的级数收敛到原始三角形面积的 8/5 倍，而雪花周长的级数发散到无穷大。因此，雪花具有由无限长的线界定的有限区域。

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建造

第1步：

画一个等边三角形。你可以用指南针或量角器画它，或者如果你不想花太多时间画雪花，你可以直接用眼睛画。

由于这种分形的性质，边长最好能被 3 整除。这将在接下来的几个步骤中变得清晰。

第2步：

将每一边分成三个相等的部分。这就是为什么边可以被三整除的原因。

第三步：

在每个中间部分画一个等边三角形。测量中间三分之一的长度以了解这些新三角形的边长。

第4步：

将每个外侧分成三份。你可以看到第二代三角形覆盖了第一代。这三个线段不应一分为三。

第五步：

在每个中间部分画一个等边三角形。

请注意您是如何绘制每个桅杆三分之一的下一代部件的。

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表示为 Lindenmayer 系统

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Koch 曲线可以用以下重写系统（Lindenmayer 系统）表示：

字母：F
常数：+，？
公理：F
制作规则：F? F+F–F+F

这里，F 表示“向前拉”，- 表示“右转 60°”，+ 表示“左转 60°”。
要创建科赫雪花，可以使用 F++F++F（等边三角形）作为公理。

创建科赫曲线：

# Python program to print partial Koch Curve.
# importing the libraries : turtle standard 
# graphics library for python
from turtle import *
  
#function to create koch snowflake or koch curve
def snowflake(lengthSide, levels):
    if levels == 0:
        forward(lengthSide)
        return
    lengthSide /= 3.0
    snowflake(lengthSide, levels-1)
    left(60)
    snowflake(lengthSide, levels-1)
    right(120)
    snowflake(lengthSide, levels-1)
    left(60)
    snowflake(lengthSide, levels-1)
  
# main function
if __name__ == "__main__":
  
    # defining the speed of the turtle
    speed(0)                   
    length = 300.0              
  
    # Pull the pen up – no drawing when moving.
    penup()                     
      
    # Move the turtle backward by distance, 
    # opposite to the direction the turtle 
    # is headed.
    # Do not change the turtle’s heading.
    backward(length/2.0)        
  
    # Pull the pen down – drawing when moving.
    pendown()         
  
    snowflake(length, 4)
  
    # To control the closing windows of the turtle
    mainloop() 

输出：

要创建具有科赫曲线的完整雪花，我们需要重复相同的图案 3 次。所以让我们尝试一下。

# Python program to print complete Koch Curve.
from turtle import *
  
# function to create koch snowflake or koch curve
def snowflake(lengthSide, levels):
    if levels == 0:
        forward(lengthSide)
        return
    lengthSide /= 3.0
    snowflake(lengthSide, levels-1)
    left(60)
    snowflake(lengthSide, levels-1)
    right(120)
    snowflake(lengthSide, levels-1)
    left(60)
    snowflake(lengthSide, levels-1)
  
# main function
if __name__ == "__main__":
    # defining the speed of the turtle
    speed(0)                   
    length = 300.0   
  
    # Pull the pen up – no drawing when moving.
    # Move the turtle backward by distance, opposite
    # to the direction the turtle is headed.
    # Do not change the turtle’s heading.           
    penup()                     
  
    backward(length/2.0)
  
    # Pull the pen down – drawing when moving.        
    pendown()           
    for i in range(3):    
        snowflake(length, 4)
        right(120)
  
     # To control the closing windows of the turtle
    mainloop()       

输出：

https://media.geeksforgeeks.org/wp-content/uploads/output_2.mp4