分段线性变换

分段线性变换（Piecewise Linear Transformation）是一种将数字图像的像素值进行映射的方法，将一个像素值映射到另一个像素值，从而实现对图像的处理和优化。分段线性变换分成若干个线性段，每个线性段对应一个像素值区间，对该区间内的像素值进行线性变换。这种方法常用于图像亮度、对比度、色彩等的调整。

原理

分段线性变换的原理是将原图像的像素灰度值，根据分类先后重新排布，并映射到目标像素灰度值，从而达到亮度调节、对比度增强等目标。具体实现过程如下：

1. 将像素灰度值区间分段，例如分成若干个相邻的区间。
2. 对于每个区间，选择一种线性变换方式（斜率与截距），例如：y = ax + b，其中 a 代表斜率，b 代表截距，x 为原始像素值，y 为目标像素值。
3. 对于每个像素灰度值，判断其位于哪个区间内，根据对应的线性变换方式进行像素值映射。

实现方法

以下是一种常见的分段线性变换实现方法：

def piecewise_linear_transform(image, thresholds=[], slopes=[], intercepts=[]):
    """
    Piecewise linear transformation.
    :param image: image object
    :param thresholds: a list of pixel value thresholds to define segments
    :param slopes: a list of slopes for each segment
    :param intercepts: a list of intercepts for each segment
    :return: transformed image object
    """
    pixels = image.load()
    width, height = image.size

    for i in range(width):
        for j in range(height):
            pixel = pixels[i, j]

            for k in range(len(thresholds)):
                if pixel < thresholds[k]:
                    pixel = slopes[k] * pixel + intercepts[k]
                    break

            pixels[i, j] = int(pixel)

    return image

其中，参数 thresholds、slopes、intercepts 分别代表阈值、斜率和截距。阈值数组 thresholds 的长度必须是斜率和截距数组长度减一，表示分段数，第 k 段的映射规则是从当前区间下限值（不包括）开始到下一区间下限（包括）的线性变换 y = slope[k] * x + intercept[k]。

示例

以下代码演示了如何进行分段线性变换，使得图像变亮并增强对比度：

from PIL import Image

# read image
img = Image.open("lena.png").convert("L")

# define the segment points and slopes and intercepts
thresholds = [80, 150]
slopes = [0.5, 1.5, 1.0]
intercepts = [0.0, -60.0, 55.0]

# apply piecewise linear transformation
img = piecewise_linear_transform(img, thresholds, slopes, intercepts)

# save result
img.save("lena_new.png")

第一段映射规则是将图像较暗的部分变亮，第二段映射规则是保持原有亮度不变，第三段映射规则是将图像较亮部分进行对比度增强。