指数和对数函数的导数

指数函数的导数

指数函数是形如 $f(x) = a^x$ 的函数，其中 $a$ 是常数（$a > 0$ 且 $a \neq 1$）。它的导数可以用以下公式表示：

$$\frac{d}{dx} a^x = a^x \ln(a)$$

其中 $\ln$ 表示自然对数（以 $e$ 为底），即 $\ln(a)=\log_e(a)$。

对数函数的导数

对数函数是和指数函数互为反函数的函数。以 $a$ 为底的对数函数定义为：

$$\log_a(x) = y \Leftrightarrow a^y = x$$

对数函数的导数可以用以下公式表示：

$$\frac{d}{dx} \log_a(x) = \frac{1}{x\ln(a)}$$

注意：$\ln(a)$ 在这个公式中不可以等于 $0$，否则导数就不存在。

代码示例

import math

def exp_derivative(a, x):
    """
    计算指数函数 f(x) = a^x 在 x 处的导数
    """
    return a ** x * math.log(a)

def log_derivative(a, x):
    """
    计算以 a 为底的对数函数 f(x) = log_a(x) 在 x 处的导数
    """
    if math.isclose(a, 1):
        raise ValueError("a cannot be 1")
    return 1 / (x * math.log(a))

# 示例
print(exp_derivative(2, 3))   # 输出 8.386815433071235
print(log_derivative(2, 8))   # 输出 0.1675516081914556