用最好的直线表示给定的一组点

找到 m 和 c 的值，使得一条直线 y = mx + c，最能代表给定点集 (x $_1$ , y $_1$ ）， （X $_2$ , y $_2$ ）， （X $_3$ , y $_3$ ）， ……。， （X $_n$ , y $_n$ )，给定 n >=2。

例子：

输入：n = 5 x $_1$ = 1, x $_2$ = 2, x $_3$ = 3, x $_4$ = 4, x $_5$ = 5 年$_1$ = 14, y $_2$ = 27, y $_3$ = 40, y $_4$ = 55, y $_5$ = 68 输出： m = 13.6 c = 0 如果我们取任何一对数 ( x $_i$ , y $_i$ ) 从给定的数据中，m 和 c 的这些值应该使其最适合直线方程 y = mx + c。取 x $_1$ = 1 和 y $_1$ = 14，然后使用输出中的 m 和 c 的值，并将其放入以下等式中，y = mx + c，LHS：y = 14，RHS：mx + c = 13.6 x 1 + 0 = 13.6 所以，它们大致相等。现在，取 x $_3$ = 3 和 y $_3$ = 40，LHS：y = 40，RHS：mx + c = 13.6 x 3 + 0 = 40.8 因此，它们也大致相等，对于所有其他值依此类推。输入：n = 6 x $_1$ = 1, x $_2$ = 2, x $_3$ = 3, x $_4$ = 4, x $_5$ = 5, x $_6$ = 6 年$_1$ = 1200, y $_2$ = 900, y $_3$ = 600, y $_4$ = 200, y $_5$ = 110, y $_6$ = 50 输出：m = -243.42 c = 1361.97

方法

为了最好地拟合直线方程中的一组点，我们需要找到两个变量 m 和 c 的值。现在，由于有 2 个未知变量，并且取决于 n 的值，因此可能有两种情况——

情况 1 – 当 n = 2 时：将有两个方程和两个未知变量需要查找，因此将有唯一解。
情况 2 – 当 n > 2 时：在这种情况下，可能存在也可能不存在满足所有 n 个方程的 m 和 c 的值，但是我们可以找到 m 和 c 的最佳可能值，它们可以拟合一条直线给定的点。

所以，如果我们有 n 对不同的 x 和 y，那么，我们可以形成 n no。来自它们的直线方程，如下

F $_1$ = mx $_1$ + c, f $_2$ = mx $_2$ + c, f $_3$ = mx $_3$ + c, …………………………….., … …………………………， F $_n$ = mx $_n$ + c, 其中, f $_i$ , 是将 x 放入后得到的值$_i$在等式 mx + c 中。

那么，由于理想情况下 f $_i$应该和 y 一样$_i$ ，但我们仍然可以找到 f $_i$最接近 y $_i$在所有情况下，如果我们取一个新的量，U = ?(y $_i$ – F $_i$ ) $^2$ ，并使这个数量对于从 1 到 n 的所有 i 值最小。

注： （y $_i$ – F $_i$ ) $^2$用于代替 (y $_i$ – F $_i$ )，因为我们要考虑两种情况，当 f $_i$或者当你$_i$更大，我们希望它们的差异最小，所以如果我们不平方这个项，那么f的情况$_i$
更大，y 的情况$_i$更大会在一定程度上相互抵消，这不是我们想要的。所以，我们需要对这个词进行平方。

现在，要使 U 最小，它必须满足以下两个等式 –

$\frac{\partial U}{\partial m}$ = 0 和$\frac{\partial U}{\partial c}$ = 0。

求解上述两个方程，我们得到两个方程，如下：

?y = nc + m?x, ?xy = c?x + m?x $^2$ , 可以重新排列为 – m = (n * ?xy – ?x?y) / (n * ?x $^2$ – （？X） $^2$ ), 和 c = (?y – m?x) / n,

因此，这就是获得这两种情况下 m 和 c 值的方式，我们可以用最好的直线表示给定的一组点。

下面的代码实现了上面给出的算法——

C++

// C++ Program to find m and c for a straight line given,
// x and y
#include 
#include 
using namespace std;
 
// function to calculate m and c that best fit points
// represented by x[] and y[]
void bestApproximate(int x[], int y[], int n)
{
    float m, c, sum_x = 0, sum_y = 0, sum_xy = 0, sum_x2 = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        sum_x += x[i];
        sum_y += y[i];
        sum_xy += x[i] * y[i];
        sum_x2 += pow(x[i], 2);
    }
 
    m = (n * sum_xy - sum_x * sum_y) / (n * sum_x2 - pow(sum_x, 2));
    c = (sum_y - m * sum_x) / n;
 
    cout << "m =" << m;
    cout << "\nc =" << c;
}
 
// Driver main function
int main()
{
    int x[] = { 1, 2, 3, 4, 5 };
    int y[] = { 14, 27, 40, 55, 68 };
    int n = sizeof(x) / sizeof(x[0]);
    bestApproximate(x, y, n);
    return 0;
}

C

// C Program to find m and c for a straight line given,
// x and y
#include 
 
// function to calculate m and c that best fit points
// represented by x[] and y[]
void bestApproximate(int x[], int y[], int n)
{
    int i, j;
    float m, c, sum_x = 0, sum_y = 0, sum_xy = 0, sum_x2 = 0;
    for (i = 0; i < n; i++) {
        sum_x += x[i];
        sum_y += y[i];
        sum_xy += x[i] * y[i];
        sum_x2 += (x[i] * x[i]);
    }
 
    m = (n * sum_xy - sum_x * sum_y) / (n * sum_x2 - (sum_x * sum_x));
    c = (sum_y - m * sum_x) / n;
 
    printf("m =% f", m);
    printf("\nc =% f", c);
}
 
// Driver main function
int main()
{
    int x[] = { 1, 2, 3, 4, 5 };
    int y[] = { 14, 27, 40, 55, 68 };
    int n = sizeof(x) / sizeof(x[0]);
    bestApproximate(x, y, n);
    return 0;
}

Java

// Java Program to find m and c for a straight line given,
// x and y
import java.io.*;
import static java.lang.Math.pow;
 
public class A {
    // function to calculate m and c that best fit points
    // represented by x[] and y[]
    static void bestApproximate(int x[], int y[])
    {
        int n = x.length;
        double m, c, sum_x = 0, sum_y = 0,
                     sum_xy = 0, sum_x2 = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            sum_x += x[i];
            sum_y += y[i];
            sum_xy += x[i] * y[i];
            sum_x2 += pow(x[i], 2);
        }
 
        m = (n * sum_xy - sum_x * sum_y) / (n * sum_x2 - pow(sum_x, 2));
        c = (sum_y - m * sum_x) / n;
 
        System.out.println("m = " + m);
        System.out.println("c = " + c);
    }
 
    // Driver main function
    public static void main(String args[])
    {
        int x[] = { 1, 2, 3, 4, 5 };
        int y[] = { 14, 27, 40, 55, 68 };
        bestApproximate(x, y);
    }
}

Python3

# python Program to find m and c for
# a straight line given, x and y
 
# function to calculate m and c that
# best fit points represented by x[]
# and y[]
def bestApproximate(x, y, n):
     
    sum_x = 0
    sum_y = 0
    sum_xy = 0
    sum_x2 = 0
     
    for i in range (0, n):
        sum_x += x[i]
        sum_y += y[i]
        sum_xy += x[i] * y[i]
        sum_x2 += pow(x[i], 2)
 
    m = (float)((n * sum_xy - sum_x * sum_y)
            / (n * sum_x2 - pow(sum_x, 2)));
             
    c = (float)(sum_y - m * sum_x) / n;
     
    print("m = ", m);
    print("c = ", c);
     
     
# Driver main function
x = [1, 2, 3, 4, 5 ]
y = [ 14, 27, 40, 55, 68]
n = len(x)
 
bestApproximate(x, y, n)
     
# This code is contributed by Sam007.

C#

// C# Program to find m and c for a
// straight line given, x and y
using System;
 
class GFG {
 
    // function to calculate m and c that
    // best fit points represented by x[] and y[]
    static void bestApproximate(int[] x, int[] y)
    {
        int n = x.Length;
        double m, c, sum_x = 0, sum_y = 0,
                     sum_xy = 0, sum_x2 = 0;
 
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            sum_x += x[i];
            sum_y += y[i];
            sum_xy += x[i] * y[i];
            sum_x2 += Math.Pow(x[i], 2);
        }
 
        m = (n * sum_xy - sum_x * sum_y) / (n * sum_x2 - Math.Pow(sum_x, 2));
 
        c = (sum_y - m * sum_x) / n;
 
        Console.WriteLine("m = " + m);
        Console.WriteLine("c = " + c);
    }
 
    // Driver main function
    public static void Main()
    {
        int[] x = { 1, 2, 3, 4, 5 };
        int[] y = { 14, 27, 40, 55, 68 };
 
        // Function calling
        bestApproximate(x, y);
    }
}
 
// This code is contributed by Sam007

Javascript

 
// Javascript Program to find m and c
// for a straight line given, x and y
 
// function to calculate m and c that
// best fit points represented by x[] and y[]
function bestApproximate(x, y, n)
{
    let m, c, sum_x = 0, sum_y = 0,
             sum_xy = 0, sum_x2 = 0;
    for(let i = 0; i < n; i++)
    {
        sum_x += x[i];
        sum_y += y[i];
        sum_xy += x[i] * y[i];
        sum_x2 += Math.pow(x[i], 2);
    }
 
    m = (n * sum_xy - sum_x * sum_y) /
        (n * sum_x2 - Math.pow(sum_x, 2));
    c = (sum_y - m * sum_x) / n;
 
    document.write("m =" + m);
    document.write("<br>c =" + c);
}
 
// Driver code
let x = [ 1, 2, 3, 4, 5 ];
let y = [ 14, 27, 40, 55, 68 ];
let n = x.length;
 
bestApproximate(x, y, n);
 
// This code is contributed by subham348
 

输出：

m=13.6
c=0.0

上面代码分析——
辅助空间：O(1)
时间复杂度：O(n)。我们有一个循环迭代 n 次，并且每次执行常数 no。的计算。

参考-
1- BS Grewal 的高等工程数学。

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