如何解决RSA算法问题？

RSA 算法是一种非对称密码算法，也就是说，在进行通信时应该涉及到两个密钥，即公钥和私钥。解决 RSA 算法问题的步骤很简单。

示例 1：

• 步骤 1：选择两个质数$p$和$q$
  让我们来$p = 3$和$q = 11$
• 步骤 2：计算$n$和$\phi$
  它给出为，

  $n = p \times q$和$\phi = (p-1) \times (q-1)$

  在这个例子中，
  $n = 3 \times 11 = 33$
  $\phi = (3-1) \times (11-1) = 2 \times 10 = 20$

• 第 3 步：找到的值$e$ (公钥)
  选择$e$ ，这样$e$应该是共同的。互质意味着它不应该乘以因子$\phi$也不除以$\phi$

  的因素$\phi$是， $20 = 5 \times 4 = 5 \times 2 \times 2$所以$e$不应该乘以$5$和$2$并且不应除以 20。

  因此，素质是3,7,11,17,19 …，拍摄3和11所选择$e$作为 7

  所以， $e = 7$

• 步骤 4：计算$d$ (私钥)
  条件给出为，
  $gcd(\phi, e) = \phi x +ey = 1$其中 y 是$d$ .

  计算值$d$ ,

  1. 形成一个包含四列的表格，即 a、b、d 和 k。
  2. 初始化 a = 1, b = 0, d = $\phi$ , k = – 在第一行。
  3. 初始化 a = 0, b = 1, d = $e$ , $k = \frac{\phi}{e}$在第二行。
  4. 从下一行，应用以下公式找到下一个 a、b、d 和 k 的值，其给出为
     • $a_{i} = a_{i-2} - (a_{i-1} \times k_{i-1})$
     • $b_{i} = b_{i-2} - (b_{i-1} \times k_{i-1})$
     • $d_{i} = d_{i-2} - (d_{i-1} \times k_{i-1})$
     • $k_{i} = \frac{d_{i-1}}{d_{i}}$

  立刻， $d = 1$ , 停止进程并检查以下情况

  如果$b > \phi$$b = b \mod \phi$如果$b < 0$$b = b + \phi$

  对于给定的示例，该表将是，

  a	b	d	k
  1	0	20	–
  0	1	7	2
  1	-2	6	1
  -1	3	1	–

  如上表$d = 1$ , 停止进程并检查给定的条件$b$
  $\therefore b = 3$

  为了验证$b$是正确的，上面的条件应该满足，即
  $gcd(\phi, e) = \phi x + ey = (20 \times -1) + (7 \times 3) = 1$ .因此$d$是正确的。

• 第 5 步：进行加密和解密
  加密给出为，
  $c = t^{e}\mod n$
  解密给出为，
  $t = c^{d}\mod n$

  对于给定的例子，假设$t = 2$ ， 所以
  加密是$c = 2^{7}\mod 33 = 29$

  解密是$t = 29^{3}\mod 33 = 2$

  因此在决赛中， $p = 3$ , $q = 11$ , $\phi = 20$ , $n = 33$ , $e = 7$和$d = 3$

示例 2：GATE CS-2017(组 1)
在 RSA 密码系统中，特定的 A 使用两个质数 p = 13 和 q = 17 来生成她的公钥和私钥。如果A的公钥是35，那么A的私钥是?

1. $p = 13$和$q = 17$
2. 计算$n = 13 \times 17 = 221$和$\phi = (13-1) \times (17-1) = 12 \times 16 = 192$
3. $e = 35$ (公钥)
4. 计算$d$ (私钥)
   

   a	b	d	k
   1	0	192	–
   0	1	35	5
   1	-5	17	2
   -2	11	1	–

   $\therefore d = 11$ (私钥)