数学 | Beta 分布模型

介绍：

假设一个事件在给定的时间单位内可以发生多次。当事件发生的总次数未知时，我们可以将其视为一个随机变量。当随机变量X在 0 到 1 的区间上取值时，概率密度的一种选择是 beta 分布，其概率密度函数如下给出。

概率密度函数-

$f(x) = \frac{1}{\Beta(m.n)}x^{m-1}(1-x)^{n-1}$

仅当以下给出的条件通过时才适用。

x > 0, m >0, n >0.  
f(x) = 0 , Otherwise

在这里，您将看到函数的含义，如您在概率密度函数的表示中所示，其中B(mn)是 beta函数的值。

B(mn) 的表示 –

$\Beta(m,n) = \int^{1}_{0} x^{m- 1}(1-x)^{n-1}dx = \Beta(n,m)$

将其分部积分，我们将得到如下表达式。

$\Beta(m,n) = \frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n)}$

其中，Γ(x) 是 x 的伽马函数，计算如下：

对于 x>1 $=> \Gamma(x) = (x-1)!$ 当 x 是整数时

随机变量X表示如下。

随机变量X 的表示 –

X ~ BETA(m,n)

期望值：

Beta 分布的期望值可以通过将值与其各自概率的乘积相加来找到。

$\mu = E(X) = \int^{\infty}_{-\infty} x.f(x) dx$ $\mu = \frac{1}{\Beta(m,n)} \int^{1}_{0}x. x^{m - 1}(1-x)^{n-1} dx$ $\mu = \frac{1}{\Beta(m,n)} \int^{1}_{0} x^{m}(1-x)^{n-1} dx$

使用 beta函数的值，我们将得到以下表达式 a 如下。

$\mu = \frac{1}{\Beta(m,n)} \Beta(m+1,n)$ $but, \Beta(m,n) = \frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n)}$ $also, \Beta(m+1,n) = \frac{\Gamma(m+1)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n+1)}$ $=> \mu = \frac{\Gamma(m+1)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n+1)} * \frac{\Gamma(m+n)}{\Gamma(m)\Gamma(n)}$

利用伽马函数的性质，即Γ(x) = (x-1)!，我们将得到如下表达式。

$So, E(x) = \frac{m! (n-1)! (m+n-1)!}{(m-1)! (n-1)! (m+n)!}$ 这里，m，n -> 整数

其中提供的 m 和 n 是整数。

方差和标准差：

可以使用方差公式找到 Beta 分布的方差。

$E(X^2) = \int^{\infty}_{-\infty} x^2.f(x) dx$ $E(X^2) = \int^{1}_{0}\frac{1}{\Beta(m,n)}x^2. x^{m - 1}(1-x)^{n-1} dx$ $E(X^2) = \frac{1}{\Beta(m,n)}\int^{1}_{0}x^{m + 1}(1-x)^{n-1} dx$

使用 beta函数的值，我们将得到如下表达式。

$E(X^2) = \frac{1}{\Beta(m,n)} \Beta(m+2,n+2)$ $but, \Beta(m,n) = \frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n)}$ $also, \Beta(m+1,n) = \frac{\Gamma(m+2)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n+2)}$ $=> \mu = \frac{\Gamma(m+2)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n+2)} * \frac{\Gamma(m+n)}{\Gamma(m)\Gamma(n)}$

利用伽马函数的性质，即Γ(x) = (x-1)!，我们将得到如下表达式。

$E(X^2) = \frac{(m+1)!(n-1)!(m+n-1)!}{(m+n+1)!(m-1)!(n-1)!}$ $E(X^2) = \frac{m(m+1)}{(m+n+1)(m+n)}$ $So, Var(X) = E(X^2) - \mu^2$ $Var(X) = \frac{m(m+1)}{(m+n+1)(m+n)} - \frac{m^2}{(m+n)^2}$ $Var(X) = \sigma^2= \frac{m.n}{(m+n+1)(m+n)^2}$

标准偏差如下给出。

$\sigma = \sqrt{\frac{m.n}{(m+n+1)(m+n)^2}} = \frac{1}{(m+ n)}\sqrt{\frac{m.n}{(m+n+1)}}$

例子 –

在某个县，任何给定年份需要维修的公路路段的比例是一个随机变量，具有 m = 3 和 n = 2 的 beta 分布。

(a) 平均而言，任何给定年份的公路路段需要维修的百分比是多少?

(b) 求在任何给定年份至多一半的公路路段需要维修的概率。

解决方案 –

(一种) $\mu = \frac{3}{3+2} = 0.60$

这意味着平均每年有 60% 的高速公路路段需要维修。

(b) Substituting m=3 and n=2 in the probability density function, and 
using Γ(3) = 2! = 2, Γ(2) = 1! = 1, Γ(5) = 4! = 24,

我们将得到如下表达式。

f(x) = 12 x^2 (1 − x) for 0


因此，期望的概率由如下给出。