不确定形式

假设一个函数$F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$在 x=a 处未定义，但随着 x 接近 a，它可能接近极限。确定这种限制的过程称为不确定形式的评估。 L’ Hospital Rule有助于评估不确定形式。根据这个规则——
$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$
假设 f'(x) 和 g'(x) 都存在于 x = a 且 g'(x) ≠ 0。

不确定形式的类型：

1. 类型$\frac{0}{0}$
   假设 f(x) = 0 = g(x) 作为 x→ a 或作为 x→ 0
   这种形式可以通过应用 L’Hospital 规则直接求解。
   $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$
   假设 f'(x) 和 g'(x) 都存在于 x = a 且 g'(x) ≠ 0。
2. 类型$\frac{\infty}{\infty}$
   假设 f(x) = ∞ = g(x) 作为 x→ a 或作为 x→ ±∞。这种形式可以通过首先将其转换为类型来解决$\frac{0}{0}$作为-
   $\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{1/g(x)}{1/f(x)}$
   现在我们可以像往常一样应用 L’Hospital 规则来解决它。建议转换为 0/0 形式，因为分子和分母的微分在某些问题中可能永远不会终止。
3. 类型$0.\infty$
   假设 f(x) = 0 且 g(x) = ∞ 作为 x→ a 或作为 x→ ±∞ 那么乘积 f(a).g(a) 是不确定的。我们需要通过将其转换为 0/0 或 ∞/∞ 类型来解决它。
   $f(x).g(x)=\frac{f(x)}{1/g(x)}$要么$\frac{g(x)}{1/f(x)}$
   现在我们需要应用 L’ Hospital 规则。
4. 类型$\infty - \infty$
   假设 f(x) = ∞ = g(x) 作为 x→ a。这种类型是通过以下方法再次转换为 0/0 形式来解决的：
   $f(x)-g(x)=\frac{\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{f(x)}}{\frac{1}{f(x)g(x)}}$
   当我们达到 0/0 形式时，现在我们可以应用 L’ Hospital 规则。
5. 类型$0^0, \infty^0, 1^{\infty}$
   要评估这些形式，请考虑：
   $y(x)=f(x)^{g(x)}$
   两边取对数
   $\lny=g(x)\lnf(x)$
   取极限为 x→ a 或 x→ ±∞
   $\lim_{x\to a}\lny=k$
   然后$k=\lim_{x\to a}(\lny)=\ln(\lim_{x\to a}y)$
   $=\ln(\lim_{x\to a} f(x)^{g(x)})$
   $\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)}=e^k$

笔记 –
如果 f'(x) 和 g'(x) 在 x=a 处不存在，那么我们需要再次进行微分，直到 f(x) 和 g(x) 的导数变为有效。

示例 1：
评价$\lim_{x\to 1}\frac{1+\lnx-x}{1-2x+x^2}$

解释 ：
由于给定的函数在 x = 1 处假定为 0/0 形式，因此我们可以直接应用 L’ Hospital 规则。
$F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(x)}{g'(x)}$
$f(x)=1+\lnx-x \scriptstyle\implies f'(x)=0+1/x-1$
$g(x)=1-2x+x^2 \scriptstyle\implies g'(x)=-2+2x$
这又形成了 0/0 形式。因此，我们再次应用 L’ Hospital 规则。
$f''(x)=\frac{-1}{x^2}$和$g''(x)=2$
因此$\lim_{x\to 1} F(x)=\frac{f''(x)}{g''(x)}$
$=\lim_{x \to 1}\frac{-1/x^2}{2}=\frac{-1}{2}$

示例 2：
评价$\lim_{x\to 1}\log(1-x).\cot\frac{\pi x}{2}$

解释 ：
给定的函数假定为 0.∞ 形式。我们将首先重写它$\frac{\infty}{\infty}$形式。
$\lim_{x\to 1}log(1-x).cot\frac{\pi x}{2}=\lim_{x\to 1}\frac{\ln(1-x)}{\tan \pi x/2}$
现在我们应用 L’ Hospital 规则得到
$\lim_{x\to 1}\frac{1/(1-x).(-1)}{\pi/2.\sec^2 \pi x/2}$
这形成$\frac{\infty}{\infty}$再次形成。我们以 0/0 形式将其重写为-
$\lim_{x \to 1}\frac{-2\cos^2\pi x/2}{\pi (1-x)}$
现在再次应用 L’ Hospital 规则。
$\Lim_{x \to 1}\frac{-2}{\pi}.\frac{2.\cos\pi x/2.(-\sin \pi x/2).\pi/2}{-1}=0$