导数的应用——极大值和极小值|数学

导数的概念可用于找到给定函数的最大值和最小值。我们知道梯度或斜率的信息可以从函数的导数中导出。我们尝试找到一个梯度为零的点，然后找到它附近的最大值和最小值。它是有用的，因为它可以用于最大化给定曲线的利润或最小化损失或成本，具体取决于其使用区域。

注意：如果f(x)是一个连续函数，那么对于闭区间上的每个连续函数都有一个最大值和一个最小值。

设f是一个实值函数，设a是f域中的一个内点。然后
• 如果存在 h > 0 使得 f(a) ≥f(x)，对于 (a – h, a + h) 中的所有 x，x≠a 值 f( a) 称为 f 的局部最大值。
• 如果存在 h > 0 使得 f(a) ≥ f(x)，则 ‘a’ 被称为局部最小值点，对于 (a – h, a + h) 中的所有 x 值 f(a) 被称为f 的局部最小值

注意：让f是一个定义在开区间I上的函数。假设 c ∈我是任何一点。如果f在 x = c 处具有局部最大值或局部最小值，则 f ^‘ (c) = 0 或 f 在 c 处不可微。

寻找最大值和最小值的步骤 –
1. 一阶导数测试
   • 如果${f}'(x)$将它的符号从正变为负，然后它发生的点 c 是局部最大值。
   • 如果${f}'(x)$将它的符号从负变为正，然后它发生的点 c 是局部最小值。
   • 如果${f}'(x)$当 x 通过 c 增加时不会改变它的符号，那么这个点就是拐点。

   
   在上图中，C ₃是全局最大值，C _{4 是}局部最小值。

2. 二阶导数测试
   • 找到 x 的值，其中${f}'(x) = 0$ ，这些点称为临界点。
   • 寻找${f}''(x)$并把上面找到的 x 的值，如果
     1. ${f}''(x)>0$那么重点是最小值
     2. ${f}''(x)<0$那么这个点是最大值
     3. ${f}''(x)=0$那么我们什么也说不出来，现在我们必须使用一阶导数来检查该点是拐点，局部最小值还是局部最大值。

静止点：
图的切线为水平的点称为静止点，即$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=0$ .

注意：如果你必须在一个闭区间内找到一个函数的最大值和最小值，那么通过等式来找到所有的临界点${f}'(x) = 0$ ，然后在给定区间 [a, b] 中的所有点上找到 f(x) 的值。

相关门问题：
• 门CS 2012