列简码

简介

在编写程序时，访问多维数组中的数据通常需要使用多层嵌套的 for 循环，使得代码难以阅读和维护。列简码则提供了一种简洁而易于理解的方式来访问多维数组中的数据。

列简码是一个由数字组成的序列，用于表示多维数组中的元素的位置。对于一个 $n$ 维数组，其对应的列简码是一个 $n$ 位的二进制数，每一位表示该维度的索引值。例如，对于一个 $3 \times 4 \times 2$ 的三维数组 $A$，其列简码的范围是 $000_{(2)}$ 到 $111_{(2)}$，也即 $0_{(10)}$ 到 $23_{(10)}$。

原理

列简码的本质是把多维数组的下标转换成一个整数，这个整数可以作为数组中元素的唯一标识符。具体转换方法为：假设 $A$ 是一个 $n$ 维数组，其第 $i$ 维的长度为 $l_i$，$x_1, x_2, \cdots, x_n$ 分别为该元素在各个维度上的下标值，则该元素的列简码可以表示为：

$$ \text{Col}(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \sum_{i=1}^{n} x_i \prod_{j=i+1}^{n} l_j $$

特别地，对于一个一维数组 $A$ 和一个下标 $i$，其列简码可以写成 $\text{Col}(i) = i$。

代码实现

下面是一个使用 Python 实现的列简码计算器：

from typing import List

def col_to_index(col: int, shape: List[int]) -> List[int]:
    """将列简码 col 转换成多维数组下标"""
    index = []
    for i in range(len(shape)):
        index.append(col % shape[i])
        col //= shape[i]
    return list(reversed(index))

def index_to_col(index: List[int], shape: List[int]) -> int:
    """将多维数组下标转换成列简码"""
    col = 0
    for i in range(len(shape)):
        col += index[i] * prod(shape[i+1:]) if i < len(shape) - 1 else 0
    return col

def prod(lst: List[int]) -> int:
    """计算列表中元素的积"""
    res = 1
    for x in lst:
        res *= x
    return res

使用方法如下：

>>> shape = [3, 4, 2]
>>> col_to_index(10, shape)
[2, 2, 1]
>>> index_to_col([2, 2, 1], shape)
10

应用

列简码常用于处理高维度的数据，如图像、声音、视频等。在计算机视觉中，卷积神经网络 (CNN) 的卷积操作实现通常使用列简码来加速计算。此外，在分布式计算中，列简码还可以用于分布式存储和数据分区。

结论

列简码是一种将多维数组下标转换为整数的方法，以在高维度的数据结构中简化访问操作。其应用广泛，如在卷积神经网络中的卷积操作和分布式计算中的数据分区。