倒三角形的最大路径总和 | 设置2

概述

在以前的题目中，我们已经介绍了求解倒三角形的最大路径总和的问题。在这个设置中，我们需要求解的是一个包含负数的倒三角形的最大路径总和。

题目描述

给定一个包含负数的倒三角形，求从顶部到底部的路径中，所有路径数字之和的最大值。

下面是一个例子：

   3
  2 -1
-1  2  3

路径1：3 -> 2 -> -1 -> 3，路径数字之和为7。

路径2：3 -> -1 -> 3，路径数字之和为5。

因此，该倒三角形的最大路径总和为7。

解题思路

本题仍然可以考虑使用动态规划来解决。设 $a[i][j]$ 表示从顶部一直走到 $(i,j)$ 的最大路径总和，那么有：

$$a[i][j]=\max(a[i-1][j],a[i-1][j+1])+triangle[i][j]$$

其中 $triangle[i][j]$ 表示倒三角形中第 $i$ 行第 $j$ 列的数字。

代码示例

下面是一个可能的解法，仅供参考：

def max_path(triangle):
    n = len(triangle)
    a = [[0] * n for _ in range(n)]
    for j in range(n):
        a[0][j] = triangle[0][j]
    for i in range(1, n):
        for j in range(n-i):
            a[i][j] = max(a[i-1][j], a[i-1][j+1]) + triangle[i][j]
    return max(a[-1])

代码中通过双重循环计算了倒三角形中所有的 $a[i][j]$，最后返回最后一行中的最大值作为答案。这个算法的时间复杂度为 $O(n^2)$，空间复杂度也为 $O(n^2)$。